Разработка алгоритмов контроля и диагностики системы управления ориентацией космического аппарата

(в данном случае это 25 точек) в которых задана функция x = x(t).

Метод наименьших квадратов позволяет такую систему привести к

решаемой системе. Запишем функционал:

[pic].

Это достигается тогда, когда выполняется:

[pic];

Взяв соответствующие производные, получим систему:

[pic];

(3.17)

В отличии от системы (3.16) полученная система определена и имеет

единственное решение [24].

В результате проведенных расчетов, для составления системы, были

произведены расчеты, приводить которые нецелесообразно ввиду их

громоздкости.

Подставив в систему (3.17) соответствующие значения, в результате мы

получим систему. Эту систему будем решать методом Гаусса.

3.2.1.2 Построение аппроксимирующего полинома для плотности земной

атмосферы

Воспользовавшись таблицей стандартной атмосферы [10,11], построим

графики зависимостей от высоты функции Po(H):

Плотность:

[pic]

Рис. 3.3 - Зависимость плотности воздуха от высоты

Аппроксимирующий полином:

[pic]

3.2.2 Гравитационный момент

В обычных задачах механики [1, 3, 6, 10, 11, 12], связанных с ее

техническими приложениями, ускорения силы тяжести в различных точках

материального тела считаются равными как по величине, так и по направлению.

Это сразу приводит к известному положению о совпадении центра масс и центра

тяжести материального тела и, как следствие, к равенству нулю момента

гравитационных сил относительно центра масс. На самом деле векторы

ускорения силы тяжести различных точках тела всегда различны, вследствие

того, что все они направлены к центру Земли, а, следовательно, если

рассматриваемые точки не лежат на одной прямой, проходящей через центр

притяжения, то векторы параллельны, а если точки лежат на одной такой

прямой, то – имеют различное удаление от центра притяжения и, значит,

соответствующие ускорения отличаются по величине. Однако это уточнение в

обычных задачах механики несущественно, поскольку размеры технических

сооружений малы по сравнению с радиусом Земли, и поэтому вызванные

сформулированным здесь уточненные моменты столь малы по сравнению с

другими, что учет их не смысла.

Космический аппарат, движущийся по околоземной орбите [6], тоже мал

по сравнению с расстоянием до центра притяжения планеты, однако он не

подвержен (если не считать времени включения двигателей) действию больших

внешних моментов, и поэтому пренебрежение малыми в обычной технике

моментами (гравитационными, связанными со световым давлением и т. п.) уже

не будет законным без соответствующей оценки этих моментов [1, 3].

Прежде, чем получить формулы для вычисления гравитационных моментов и

обсудить некоторые следствия, вызванные существованием этих внешних

моментов, поясним физическую сущность рассматриваемого явления па

простейшем примере. Пусть в центральном ньютоновом поле сил находится тело,

могущее быть представленным в виде двух одинаковых точечных масс,

соединенных невесомым стержнем (идеализированная гантель), и пусть этот

стержень будет наклонен на некоторый угол (отличный от 0 и pi/2) к линии,

соединяющей его середину А с центром притяжения С (рис. 3.4).

[pic]

Рис. 3.4 – Тело в виде двух одинаковых точечных масс, соединенных невесомым

стержнем (идеализированная гантель) в ньютоновом поле

Если принять обычные допущения о параллельности и равенстве сил

тяжести) действующих на обе массы гантели (считаем, что на них действует

ускорение силы тяжести, соответствующее точке А), то связанные с ними силы

G не дали бы момента относительно точки А, являющейся центром масс

рассматриваемого тела. На самом деле силы тяжести будут действовать по

прямым В1С и В2С, а величина силы тяжести в точке И1 будет меньше, чем в

точке И2, поскольку В1С > В2С. Поэтому к “обычным” силам G, вычисленным по

вектору ускорения силы тяжести, соответствующему точке А, следует ввести

поправки, например малые силы P1i и P2, изменяющие должным образом величины

сил тяжести, действующий на материальные точки, и силы P1 и Р2, изменяющие

должным образом направления этих сил тяжести. Из рисунка видно, что пара

сил R1 и R2 и пара сил P1 и Р2 (их можно считать 'парами, постольку малые

силы Р1 и Р2, а также R1 и R2 будут отличаться друг от друга на .величины

высшего порядка малости) создают моменты одного знака, стремящиеся

совместить ось тела B1B2 с исправлением АС.

Таким образом, как зависимость величины ускорения силы тяжести от

расстояния до центра притяжения, так и центральность поля тяготения

приводят к эффектам одного типа - к появлению моментов, стремящихся

повернуть ось тела, связанную с геометрией распределения масс в нем, в

некоторое определенное положение относительно прямой, соединяющей центр

масс тела с центром притяжения.

[pic]

Рис. 3.5.

Найдем выражения, позволяющие вычислять составляющие вектора

гравитационного момента Мгр, действующего на некоторое тело S [1, 3].

Введем связанную с телом правую систему координат ОXоYоZo с ортами i, j, k

и началом в центре масс тела О, которая совпадает с орбитальной.

Соответственно ось OYo натравим по продолжению радиуса-вектора,

соединяющего центр притяжения С с началом О, а ось ОXo расположим в

мгновенной орбитальной плоскости. Гравитационный момент, действующий на

тело S, будет равен:

[pic];

где p - радиус-вектор некоторой элементарной массы материального

тела,

dG-вектор силы тяжести, действующей на эту элементарную массу.

Очевидно, что

[pic].

Здесь g - ускорение силы тяжести на поверхности планеты, r – радиус-

вектор элементарной массы dm относительно центра тяготения С, гg -удаление

поверхности планеты от центра C. Введя еще r0 - радиус-вектор центра масс

тела S относительно С, следовательно [3]:

[pic];

где [pic] - гравитационная постоянная для рассматриваемой планеты,

равная [pic].

Проекции гравитационного момента на оси триэдра ОXoYoZo, будут равны:

[pic]; (3.18)

где D и F-центробежные моменты инерции тела S, определяемые для системы

осей ОXоYоZo.

Полученные для гравитационного момента выражения говорят о том, что

вектор этого момента всегда лежит в плоскости местного горизонта

(перпендикулярен к местной вертикали СО) [1, 4, 10]. Кроме того, очевидно,

что гравитационный момент для тела, главные центральные оси инерции

которого в данное мгновение совпадают с орбитальными, равен нулю (так как в

этом случае D=F=0), в частности он всегда равен нулю для тела, эллипсоид

инерции которого является сферой.

В общем случае главные центральные оси инерции тела могут быть

повернуты произвольным образом относительно орбитальных осей ориентации.

Обозначим жестко связанный с телом S триэдр, совпадающий с главными

центральными осями инерции, через Охуz, а для орбитальных осей сохраним

обозначение OXoYoZo. Взаимное положение этих систем координат определим

следующей таблицей направляющих косинусов:

[pic].

Найдем проекцию гравитационного момента на ось Ох. Очевидно, что

[pic]. (3.19)

Воспользовавшись свойством направляющих косинусов, преобразуем

равенство (3.19) с учетом формул (3.18):

[pic]; (3.20)

поскольку триэдр Oxyz совпадает с главными центральными осями инерции,

постольку все центробежные моменты инерции в этих осях будут равны нулю, и

выражение (3.20) может быть упрощено [1, 3]. Проделав аналогичные выкладки

для нахождения проекций гравитационного момента можно, написать:

[pic] (3.21)

Таким образом, гравитационный момент, действующий вокруг одной из

осей триэдра Oxyz, зависит от разности моментов инерции относительно двух

других осей. Чтобы сделать анализ полученных выражений более наглядным,

рассмотрим гравитационный момент, действующий на тело S, при условии, что

оси 0Z и 0Zo совпадают. Это соответствует повороту тела S, который можно

назвать поворотом по тангажу, на угол [pic] (рис. 3.6).

[pic]

Рис. 3.6 - Поворот тела вокруг оси Z

При сделанных предположениях

[pic], [pic] [pic];

н, следовательно,

[pic] [pic] [pic];

Как и надо было ожидать, при [pic] гравитационный момент обращается

в нуль, поскольку триэдры Охуz и 0XoYoZo в этом случае совпадают [1, 3].

При монотонном увеличении [pic] от [pic] гравитационный момент возрастает,

достигает максимума при [pic], затем убывает и вновь становится равным нулю

при [pic]. Таким образом, существует два положения равновесия: при [pic] и

при [pic]. Однако, из этих положений одно соответствует статической

устойчивости (при малом изменении [pic], возникает момент противоположного

знака), другое – статистической неустойчивости. Действительно, производная

[pic];

при [pic] и при [pic] имеет разные знаки. Какое из этих двух положений

соответствует статистической устойчивости, зависит от знака (B-A) [1, 3,

8]. Условие устойчивости (возникновение восстанавливающего момента при

малом отклонении) [pic] реализуется при [pic] для A>B или при [pic] для

B>A, т.е. в обоих случаях вытянутая ось тела должна занимать вертикальное

положение.

Таким образом, вытянутое в вертикальном положении тело, обладая

статистической устойчивостью по тангажу и крену, является нейтральным по

отношению к углу рыскания [1, 3, 4].

3.3 Гироскопический измеритель угловой скорости

Для пересчета векторов сил, моментов и т.д. из одной системы

координат в другую необходимо вычислить матрицу перехода, элементами

которой являются косинусы углов между осями исходной и повернутой систем

координат [1, 3, 21]. Эта матрица определяется последовательностью углов

поворота, которые позволяют перейти от одной системы координат к другой.

Осуществление такого рода перехода требует не более трех поворотов исходной

системы координат. Выбор последовательности углов поворота обычно

определяется физическим содержанием задачи [1, 3, 5]. Это могут быть углы,

измеренные с помощью приборов системы управления, от которых зависят

аэродинамические и другие нагрузки на ЛА и т.д. [1]

Применение направляющих косинусов в космических приложениях

обусловлено, прежде всего, тем, что они могут быть непосредственно измерены

на борту космического аппарата [5].

1. Сформируем матрицу (A [3,3] – переход от ССК к ПСК ГИВУС:

| |ССК |

|ПС| |x |y |z |

|К | | | | |

| |x |([1,1] |([1,2] |([1,3] |

| |y |([2,1] |([2,2] |([2,3] |

| |z |([3,1] |([3,2] |([3,3] |

Матрица (А получается вследствие трех элементарных поворотов:

1) вокруг оси х на (АД(1):

[pic]

Рис.3.7 - Схема поворота первого типа вокруг оси х

Матрица направляющих косинусов:

[pic];

2) вокруг оси y на (АД(2):

[pic]

Матрица направляющих косинусов:

[pic];

3) вокруг оси z на (АД(3):

[pic]

Рис. 3.9 - Схема поворота третьего типа вокруг оси z

Матрица направляющих косинусов:

[pic];

[pic]

Так как [pic], то :

[pic].

2. Сформируем матрицу (( [6,3] – переход от ПСК ГИВУС к ЧЭ:

|ПСК |

|оси |x |y |z |

|1 |(([1,1] |(([1,2] |(([1,3] |

|2 |(([2,1] |(([2,2] |(([2,3] |

|3 |(([3,1] |(([3,2] |(([3,3] |

|4 |(([4,1] |(([4,2] |(([4,3] |

|5 |(([5,1] |(([5,2] |(([5,3] |

|6 |(([6,1] |(([6,2] |(([6,3] |

[pic] ([pic])

3. Сформируем матрицу (Am[3,3] погрешностей установки ГИВУС в ССК:

[pic].

Матрица (Аm получается, если предположить что [pic]

4. Сформируем матрицу D([6,3] - переход от CСК к ЧЭ:

D(=((*(A*(ADm.

5. Определяется время точностной готовности MGOT.

6. Вычислим угловой уход.

[pic]

где ([k] – угол ухода;

(pr[k] – значение угла ухода, соответствующее предыдущему такту;

(( - паспортизируемый уход;

((( - погрешность паспортизации;

[pic] - математическое ожидание;

[pic] - среднеквадратичное отклонение случайного ухода;

NORM([pic]) – случайная составляющая, отвечающая нормальному закону

распределения.

7. Приведем измеренный сигнал к осям ЧЭ:

[pic],

где [pic] - угол поворота объекта, приведенный к осям ЧЭ (вектор,

[pic]);

[pic] - угол поворота объекта.

8. Учет углового ухода, шума измерений и переходного процесса при

достижении готовности ЧЭ [21]:

[pic]

где ([k] – интеграл, измеренный ЧЭ;

(pr[k] - интеграл, измеренный ЧЭ на предыдущем такте;

BSH[k] – «белый шум», распределенный по нормальному закону;

BSTR[k] – шум, создаваемый системой термостатирования;

АPER – величина помехи в переходном процессе;

MGOT – время готовности;

NGOT – счетчик готовности k-го ЧЭ.

[pic].

9. Определим число импульсов [6, 10, 14].

Для k=1...6:

[pic]

где U[k] – промежуточная переменная;

[pic] - сумма импульсов k-го ЧЭ за все такты;

[pic] - промежуточное значение цены импульсов;

[pic] - промежуточное значение погрешности цены импульсов.

[pic]

где [pic] - сумма импульсов k-го ЧЭ за такт;

Ent{…} – операция выделения целой части.

[pic].

4 АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ И КОНТРОЛЯ СУО И СТАБИЛИЗАЦИИ КА

4.1 Синтез наблюдателя Льюинбергера

Рассмотрим объект, описываемый уравнениями [7, 22]:

[pic] (4.1)

[pic] (4.2)

где х – n-мерный вектор состояния;

u – m-мерный вектор детерминированных (доступных измерению) входных

сигналов;

А, В, Н – матрицы размеров nxn, nxm, 1xn.

Предполагая, что известны как измеренные величины скалярный входной

сигнал z, матричный входной сигнал u(t) и матрицы объекта А, В, Н,

произведем синтез устройства для наблюдения вектора состояния объекта х [7,

22].

Пусть [pic] – оценочное значение вектора х, тогда, согласно (4.2),

оценочное значение выходного сигнала [pic]. Оценка [pic] содержит ошибку,

если [pic] отличается от значения, полученным реальным измерением сигнала

z. задача заключается в том, чтобы ошибку оценивания [pic] свести к нулю.

[7, 16, 22]

Зная u(t) А, В и начальное значение x(t0) можно оценить x(t), если

подвести сигнал u(t) к электронной модели объекта

[pic] (4.3)

где x(t0) задано.

Недостаток оценивающего устройства (4.3) состоит в том, что он

действует по разомкнутому циклу [7, 16, 22]. Поскольку данные об u(t) А, В

- неточны, то после некоторого времени работы это устройство будет давать

слишком неточную оценку вектора х. Чтобы при сохранении линейности данного

устройства устранить отмеченный недостаток, было предложено ошибку [pic]

ввести в каждое из уравнений системы (4.3), т.е. перейти к оценивающему

устройству (4.4) [22]:

[pic] (4.4)

где

[pic]

Устройство, описываемое уравнением (4.4), производит оценку вектора х

по замкнутому циклу и называется наблюдающим устройством идентификации или

фильтром Льюинбергера [7, 16, 22].

Если ошибку оценивания определить как (4.5)

[pic] (4.5)

то эту ошибку можно находить из уравнения (4.6):

[pic] (4.6)

получаемого вычитанием уравнения (4.1) из уравнения (4.4). Выбрав

коэффициенты усиления [pic] так, чтобы система (4.6) была устойчивой,

получим [pic] при [pic]. Другими словами, с ростом t оценка [pic] стремится

к оцениваемому вектору х(t) [7 , 16].

Если по измеренному сигналу z(t) объект (4.1) полностью наблюдаем, то

выбором коэффициентов [pic] можно замкнутой системе (4.4) придать любое

желаемое распределение корней, т.е. можно синтезировать наблюдающее

устройство идентификации. Если же по выходному сигналу z(t) вектор

состояния объекта х наблюдаем не полностью, то с помощью начальных условий

можно оценить лишь наблюдаемую часть вектора состояния [22].

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10