Разработка алгоритмов контроля и диагностики системы управления ориентацией космического аппарата

относительно номинального положения.

2. При вращении ГИВУС вокруг оси чувствительности [pic] в положительном

направлении (против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора)

выходная информация с измерителя А1 (А2, А3, А4, А5, А6) соответствует

положительному значению параметра и наоборот.

3. Относительная ориентация осей приборной системы координат и

строительной системы координат изделия такова, что ось хп совпадает с

отрицательным направлением оси zизд; ось уп с положительным

направлением оси хизд; zп совпадает с отрицательным направлением оси

уизд.

C гивус выходная информация в дискретном виде выдается с каждого

измерителя (А1, А2, А3, А4, А5, А6) в виде унитарного кода –

последовательности импульсов, транслируемых в БЦВК по электрически не

связанным каналам. Каждый канал информации имеет две функциональные линии

связи; по одной линии выдаются импульсы, соответствующие положительной

проекции, а по другой линии, соответствующие отрицательной проекции угловой

скорости на ось чувствительности измерителя [1, 3, 9, 21].

Рис. 2.3 - Ориентация осей чувствительности ГИВУС относительно осей

приборной системы координат

Рис.2.4 - Положительные направления углов отклонения осей чувствительности

измерителей относительно номинального положения

3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

3.1 Математическая модель упругого космического аппарата

Возьмем для рассмотрения космический аппарат, как абсолютно твердое

тело, не содержащих каких-либо движущих масс (см. рис. 1.1) [1].

Если триэдр жестко связанных с телом осей Oxyz с началом координат в

центре масс КА (связанная система координат - ССК) направить так, чтобы они

совпали с главными центральными осями инерции, то центробежные моменты

инерции обратятся в нуль и система уравнений Эйлера, описывающая динамику

вращения КА вокруг центра масс, примет вид (3.1) [1, 3]:

[pic] (3.1)

где [pic] , [pic], [pic] – проекции вектора абсолютной угловой скорости

тела на оси

Ox,Oy и Oz соответственно.

[pic],[pic], [pic] – проекции главного момента М на оси Ox,Oy и Oz

соответственно.

[pic], [pic] и [pic] - моменты инерции тела относительно тех же осей.

[pic]

[pic] (3.2)

[pic]

В приведенных выражениях (3.2) x,y,z – координаты элементарной массы

тела, а интегралы берутся по всей массе твердого тела. Космическим

аппаратом целесообразней управлять вокруг ССК [1, 3, 4].

Воспользуемся гироскопическим измерителем вектора угловой скорости и

рассмотрим режим построения базовой ориентации с произвольными начальными

условиями [1]. Командные приборы и исполнительные органы устанавливаем с

учетом главных центральных осей инерции, таким образом, что управление

вокруг трех взаимно перпендикулярных осей Ox, Oy, Oz - независимо.

Наряду с динамическими уравнениями рассматриваются кинематические

уравнения, связывающие угловые скорости (j с углами поворота триэдра осей

Oxyz относительно триэдра осей некоторой базовой системы координат (БСК)

[1, 3], начало которой совпадает с началом координат ССК, а оси

определенным образом ориентированы в инерциальном пространстве и движутся

поступательно.

Пусть углы ориентации (углы Эйлера-Крылова) [pic] – полностью

определяют угловое положение ССК относительно БСК. Понятие углов ориентации

становится однозначным лишь после того, как введена последовательность

поворотов твердого тела вокруг осей Ox, Oy, Oz. Для последовательности

поворотов: [pic]система кинематических уравнений имеет вид [1, 4, 5, 23]:

[pic]

(3.3)

Системы (3.1) и (3.3) описывают угловое движение твердого тела

относительно БСК. Будем предполагать, что углы Эйлера-Крылова (j малы.

Текущие значения (j оцениваются в системе по информации измерителя угловой

скорости, измеряющего интегралы от проекций вектора абсолютной угловой

скорости КА на оси чувствительности прибора [21].

Известны также некоторые другие методы [1, 4, 23] описания конечного

поворота твердого тела не тремя, а четырьмя параметрами: исследование

параметров Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна, или с использованием

кватернионов [1, 3, 6].

Интегрируя кинематические уравнения (3.3) в бортовой цифровой

вычислительной машине (БЦВМ) при начальных значениях углов [pic], и

интегрируя уравнения движения центра масс КА при соответствующих начальных

условиях, реализуют бесплатформенную инерциальную навигационную систему

(БИНС). Таким образом, считаем, что текущие величины углов (j непрерывно

вычисляются в БИНС [9, 12].

Характерной особенностью момента управления [pic] является

активность, он появляется в результате включения вспомогательных органов

(в частности реактивных двигателей стабилизации), и исчезает при их

отключении. Момент Мупрj формируется в соответствии с логикой закона

управления и обеспечивает заданное угловое положение КА [1, 8, 10].

Источником внешнего возмущающего момента Мвj, является

взаимодействие КА с внешней средой, приводящее к появлению действующих на

корпус внешних сил – гравитационного, аэродинамического, светового,

магнитного [1, 3, 10, 12]. Момент [pic] имеет две составляющих – [pic]

(создаваемую реактивными двигателями), и [pic] (создаваемым моментным

магнитоприводом и др. Будем рассматривать только [pic]) [1].

Важным свойством динамической системы ориентации является: если

осями ориентации являются поступательно движущиеся оси, то при

соответствующем законе управления вместо сложных пространственных поворотов

космического аппарата можно изучать три независимых плоских угловых

движения, что мы и сделаем в системе, т.е.:

[pic] (3.4)

получено три независимых уравнения.

Закон управления формируется путем сложения позиционного сигнала (j

и скоростного сигнала (j, умноженного на коэффициент усиления kj (j=x, y,

z):

[pic]. (3.5)

Усложним рассматриваемую модель. Для этого будем рассматривать ее как

упругое тело [1, 3, 6-12]. Уравнения осцилляторов для упругой модели имеет

вид:

[pic] (3.6)

где [pic]- коэффициент демпфирования для каждой отдельно взятой гармоники.

[pic] - квадрат собственной частоты не демпфированных колебаний для

каждой гармоники.

[pic]- управляющий момент с учетом возможного отказа. i = 1,2,3,4.

Коэффициенты [pic][pic][pic] мы берем из таблицы, приведенной в

приложении А.

При нулевой правой части, мы получаем свободные колебания, зависящие

от начальных отклонений, угловых скоростей и др. При ненулевой правой части

мы получаем вынужденные колебания, которые накладываются на свободные

колебания. Они являются затухающими со временем, в силу коэффициента

демпфирования. Прототипом для данной упругой модели послужил маятник на

пружинке. Рассматриваемая система является линейной [1].

3.2 Моменты внешних сил, действующие на космический аппарат

3.2.1 Аэродинамический момент

Взаимодействие корпуса [1, 3] движущегося с большой скоростью

космического аппарата с разряженной атмосферой больших высот вызывает

появление аэродинамических сил и моментов. Первые приводят главным образом

к постепенному торможению космического аппарата и связанного с этим

эволюции его орбиты, в конечном итоге приводящей к падению на поверхность

планеты ее искусственных спутников. А вторые к появлению внешних моментов,

иногда благотворно, а чаще неблаготворно сказывающихся на режимах

ориентации.

Особенностью аэродинамического взаимодействия корпуса космического

аппарата с внешней средой [1, 3] является то, что вследствие малой

плотности среды длина свободного пробега молекул атмосферы не может

считаться малой по сравнению с характерными линейными размерами корпуса

космического аппарата. В результате соударение "отскочившей" от

поверхности космического аппарата молекулы внешней среды с другой такой

молекулой происходит на большом удалении от него, что позволяет считать,

что каждая молекула атмосферы взаимодействует с корпусом космического

аппарата независимо от других. Это приводит не к обычной в аэродинамике

схеме обтекания тела сплошной среды, а к картине "бомбардировки" такого

тела отдельными молекулами.

Взаимодействие молекул разряженной среды с поверхностью твердого тела

мыслимо идеализировать двояким образом: либо как упругое соударение с

мгновенным зеркальным отражением молекулы, либо считать, что при соударении

молекула отдает всю свою энергию телу, приходит с ним в температурное

равновесие, а затем выходит во внешнее пространство с тепловой скоростью.

Поскольку тепловая скорость молекулы невелика по сравнению со скоростью

движения космического аппарата, последнюю схему можно считать схемой

абсолютно упругого удара. Вторая из приведенных схем значительно лучше

описывает наблюдаемые на практике явления и поэтому кладется в основу

расчетов. Однако фактически происходят как упругие, так и неупругие

соударения, и в более тонких расчетах следует учитывать долю тех и других

[1, 3, 6].

Если по аналогии с обычной аэродинамикой считать, что возникающие

силы взаимодействия тела и среды пропорциональны скоростному напору

[pic] ; (3.7)

где [pic] - плотность внешней среды, [pic] - относительная скорость тела

и среды, то элементарная сила, действующая на площадку dS, будет:

[pic]; (3.8)

здесь [pic] - некоторый коэффициент, а [pic] - угол между внешней нормалью

к элементарной площадке dS и вектором скорости этой площадки относительно

внешней среды. Написанное соотношение является следствием закона сохранения

импульса, и легко убедиться, что для абсолютно неупругого удара с=2.

Элементарный аэродинамический момент относительно центра масс

[pic] ; (3.9)

где r — радиус-вектор площадки dS, имеющий начало в центре масс

тела, а полный момент

[pic] ; (3.10)

В последнем выражении интегрирование производится по той части

поверхности космического аппарата S, которая омывается внешней средой при

его движении. Входящая в (3.8), а, следовательно, и в (3.10) скорость V,

строго говоря, складывается из скорости движения центра масс [pic] и

линейных скоростей элемянтарных площадок внешней поверхности корпуса

космического аппарата, связанных с его вращением вокруг центра масс. Первое

слагаемое [pic], связанное с [pic], будет, поэтому функцией конфигурации

омываемой части корпуса, а, следовательно, функцией конфигурации внешней

поверхности космического аппарата и его положения относительно вектора

скорости [pic]. Второе слагаемое, кроме того, будет являться функцией

угловой скорости космического аппарата. Сравнение модуля скорости [pic] с

наибольшим возможным значением модуля линейной скорости внешней поверхности

космического аппарата, порожденной его вращением вокруг центра масс,

показывает, что вторым слагаемым в задачах активной ориентации космических

аппаратов можно пренебрегать [1 ,3, 12]. Это связано как с очень малыми

угловыми скоростями, так и с относительно небольшими размерами современных

космических аппаратов. Поэтому всюду будет делаться предположение о

равенстве нулю внешнего аэродинамического момента, связанного с вращением

космического аппарата вокруг его центра масс. В этой же связи скорость V в

выражении (3.8) может быть определена равенством [pic].

Пусть космический аппарат имеет форму сферы, тогда численное значение

аэродинамического момента действующего на сферу, и при [pic] будет равно

[pic] (3.11)

Полученное выражение говорит о том, что при поворотах вокруг центра масс

космический аппарат сферической формы имеет два положения равновесия,

соответствующие [pic] и [pic]. Если направление отсчета расположения центра

давления относительно центра масс взять по направлению вектора [pic], то

первое положение равновесия характеризуется расположением центра масс за

центром сферы (задняя центровка), а второе расположением центра масс перед

центром сферы (передняя центровка). Рассматривая изменение

аэродинамического момента в функции угла [pic] в окрестности положения

равновесия, можно написать [8]:

[pic]; (3.12)

Это даст для задней центровки [pic], а для передней [pic]. Знаки

приведенных производных говорят о том, что при задней центровке [pic]

космический аппарат статически неустойчив (возникающий момент имеет тот же

знак, что и отклонение), а при передней центровке[pic]— устойчив.

Это указывает на основную закономерность, характерную для

аэродинамических моментов, возникающих при космическом полете:

возникновение моментов связано с силами сопротивления и зависит от

расположения линий действия этих сил относительно центра масс. При более

сложных конфигурациях космических аппаратов расчет заметно усложняется,

приходится учитывать взаимное затенение элементов конструкции, переменность

(зависимость от угла поворота) омываемой потоком поверхности S и т.п.

Однако и в этих громоздких расчетах фактически сохраняется приведенная

методика. Результаты подобных расчетов, как правило, представляются в виде

зависимостей аэродинамических коэффициентов моментов от соответствующих

углов, характеризующих положение тела относительно вектора скорости центра

масс [1, 3, 8].

Формула (3.12) указывает на зависимость аэродинамического момента от

положения центра масс на прямой ОА. В условиях невозмущенного движения

внешние моменты должны быть полностью уравновешены. В рассматриваемом

случае это означает, что угол [pic] должен быть равен нулю, т. е. линия ОА

должна быть параллельной вектору скорости. Если считать, что происходит

ориентация в скоростных осях, то естественно направить ось Ох космического

аппарата по прямой OA, тогда при идеальной ориентации жестко связанная с

корпусом космического аппарата ось Ох будет совпадать по направлению с

вектором [pic], и вследствие равенства нулю угла [pic] аэродинамический

момент будет равен нулю [1. 3].

Таким образом, вопрос о величине аэродинамического момента и

статической устойчивости оказывается связанным с расстоянием [pic] взятым

на оси Ох от центра масс до точки А. Точку приложения равнодействующей

аэродинамических сил называют центром давления, и, следовательно, вектор

[pic] определяет положение центра давления относительно центра масс. Для

тела произвольной формы тоже можно ввести понятие центра давления как точки

пересечения линий действия равнодействующих аэродинамических сил.

Как уже говорилось, аэродинамические силы и моменты пропорциональны

скоростному напору q (3.7). Поскольку скорость полета [pic] определяется

законами небесной механики, постольку при изменении высоты полета на малую

долю радиуса планеты скорость [pic] изменяется мало. В то же время

известно, что плотность окружающей планету атмосферы чрезвычайно сильно

зависит от высоты. Это позволяет утверждать, что величина q является для

данного класса космических аппаратов (например, для искусственных спутников

Земли, движущихся по почти круговым орбитам) главным образом функцией

плотности среды [pic], т.е. в конечном итоге - высоты полета.

Следовательно, для космических аппаратов, траектории которых достаточно

удалены от планет, аэродинамические моменты будут пренебрежимо малы [1, 3,

10].

Для математического моделирования, будем рассматривать модель

реального космического аппарата [10], с заданными линейными размерами.

Солнечные батареи Корпус КА

Рис. 3.1.

[pic]

Рис. 3.2.

Исходя из выше представленной модели космического аппарата,

аэродинамические моменты в каждом из каналов, можно представить в виде:

[pic]

[pic] (3.13).

[pic]

3.2.1.1 Аппроксимация плотности земной атмосферы аналитическими

зависимостями

Предполагается, что рассматриваемая модель упругого космического

аппарата [1, 3, 10, 11] движется в атмосфере земли. Тогда на КА действуют

моменты внешних сил, такие как гравитационный и аэродинамический моменты.

Для нахождения аэродинамического момента, необходимо знать плотность

атмосферы, которая зависит от высоты полета.

В данной задаче требуется [11, 24] аппроксимировать функцию полиномом

3-его порядка вида:

[pic]; (3.14)

Полином (3.14) в каждом из узлов аппроксимации должен удовлетворять

условию:

[pic]; (3.15)

Таким образом, задача аппроксимации функции сводится к решению

системы с N+1 уравнений с тремя неизвестными:

[pic]; (3.16)

Это объясняется тем, что полином должен пройти через все N+1 точек

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10