Курсовая работа: Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления

Тогда уравнения (11) примут вид

(12)

Введем остаточные переменные в ограничения на управление

(13)

При объединении выражений (12) и (13) получаем ограничений.

Начальный допустимый базис состоит из остаточных и остаточных искусственных переменных

Формируем целевую функцию (по второму методу выбора начального допустимого базиса)

(14)

б) Решение задачи быстродействия

Предположим, что , где – оптимальное число шагов. Так как значение нам неизвестно (но известно точно), выбираем некоторое начальное и решаем задачу линейного программирования (12)-(14).

При этом

Общее число столбцов в симплекс-таблице:

Число базисных переменных:

Сформируем строку. Имеем

Выразим из уравнения (12) начальные базисные переменные

и подставим в целевую функцию. Получим – строку

(15)

Решаем задачу (12) – (14) симплекс-методом.

В случае,

если , – малое число

иначе

1) если увеличить и целое,рвернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования;

2) если (не все управления будут равны предельным, могут быть, в том числе нулевые)), , уменьшить , вернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования.

Решения данной задачи получено с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт SimplexMetod2.m):

Рис. 14. График фазовой координаты .

Рис. 15. График фазовой координаты .

Рис. 16. График .

Рис. 17. График оптимального управления .

Выводы: Сравнивая полученные результаты с результатами полученными в ДЗ№2 по СУЛА, можно сделать вывод, что решения совпадают, с точностью до .

3. Оптимальная L – проблема моментов

3.1 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве «вход-выход»

Укороченная система данного объекта имеет вид:

где:

;

Полюса укороченной передаточной функции:

;

Заданы начальные и конечные условия:

, , .

Для определения начальных и конечных условий для воспользуемся следующей формулой:

Где матрица имеет следующий вид

где , .

ИПФ укороченной системы:

Составим фундаментальную систему решений:

ФСР: .

Составим матрицу .

, где – матрица Вронского

Тогда

Составим моментные уравнения (связь между входом и выходом):

Моментные функции определяются по следующей формуле

Составим моментные функции:

Найдем моменты по следующей формуле:

Числовое значение найденных моментов:

Составим функционал качества, который имеет следующий вид:

при условии, что :, т.е.

Выразим из данного условия , тогда получим следующее равенство:

Подставляя полученное равенство в функционал и заменяя их правыми частями получаем

Найдем частные производные и приравняем их к нулю. Решая полученную систему уравнений, определяем оптимальные значения коэффициентов , а вычислим по формуле

Т.о. имеем:

Минимальная энергия:

Найдем управление по следующей формуле:

Тогда оптимальное управление

3.2 Оптимальная L – проблема моментов в пространстве состояний

Система задана в виде:

Решение ДУ имеет вид:

, при имеем:

Составим моментные уравнения:

Подставляя необходимые данные в выше приведенные формулы, получим следующие моменты и моментные функции:

Числовое значение найденных моментов:

Моментные функции:

Заметим, что моменты и моментные функции совпадают с моментами и моментными функциями, найденными в пункте (а).

Из этого следует, что функционал, значения , управление и минимальная энергия будут иметь точно такие же числовые значения и аналитические выражения, как и в пункте (3.1).

Оптимальное управление имеет вид:

Проверим правильность полученного решения.

Эталонные значения координат в начальный и конечный момент времени:

Найденные значения координат в начальный и конечный момент времени:

Вычислим погрешность полученных результатов:

Ниже представлены графики полученного решения с помощью скрипта Optimal_L_problem_moments.m.

Рис. 18. Графики фазовых координат системы при переходе из в .

Рис. 19. Графики выходных координат системы при переходе из в .

Рис.20. График оптимального управления .

Выводы: Задача перевода системы из начальной точки в конечную с помощью L-проблемы моментов в пространстве состояний и в пространстве вход-выход была решена с точностью до 12-го знака после запятой. Результаты, полученные при переводе системы из начальной точки в конечную, полностью совпадают.

4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий – минимизация энергии)

Система имеет вид:

с начальными условиями:

Составим матрицу управляемости и проверим управляемость системы:

Составим грамиан управляемости для данной системы:

Найдем грамиан по формуле:

Тогда управление имеет вид:

или

Ниже представлен график оптимального управления полученного с помощью скрипта Gramian_Uprav.m.:

Рис.21. График оптимального управления .

Графики фазовых координат аналогичны, как и в оптимальной L – проблеме моментов.

Сравним управление, полученное в начальной и конечной точках в пунктах 3 и 4 соответственно:

Выводы: Как видно, значения граничных управлений совпадают. А это значит, что задача перевода объекта из начального состояния в конечное решена с высокой степенью точности и с минимальной энергией.

Графическое сравнение оптимальных управлений из пунктов 3 и 4:

Рис.21. Сравнение графиков оптимального управления .

5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)

5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени

Рассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме

Необходимо получить закон управления

минимизирующий функционал вида

Начальные условия для заданной системы

Моменты времени фиксированы. Матрицы — симметричные неотрицательно определенные:

матрица — положительно определенная:

Матричное дифференциальное уравнение Риккати имеет вид:

Если линейная стационарная система является полностью управляемой и наблюдаемой, то решение уравнения Риккати при стремится к установившемуся решению не зависящему от и определяется следующим алгебраическим уравнением: