Пьер Симон Лаплас. Возникновение небесной механики

быть сплошным или твердым, а должно состоять из мельчайших частиц, из

которых каждая движется около планеты самостоятельно; он предсказал, также,

что сама планета в результате вращения должна быть сплюснута у полюсов. Уже

Кант и Лаплас считали, что кольца Сатурна – это система из многих

концентрических колец. Но при помощи «Вояджера» открылась несравненно более

сложная структура – колец у Сатурна по меньшей мере тысячи. Обнаружились и

неожиданные детали – переплетающиеся кольца и так называемые спицы – темные

образования поперек некоторых колец.

Спутники Юпитера

Другой, также блестяще разрешенный Лапласом вопрос касался движения

четырех наиболее ярких спутников Юпитера.

Лаплас в 1789 г. рассмотрел возмущения, которые испытывают эти

спутники со стороны Солнца и друг от друга; он создал теорию, которая не

только блестяще согласовывалась с наблюдениями, но позволила вывести

несколько чрезвычайно простых и важных законов этих движений. Один из этих

законов Лапласа, вытекающих как следствие из его теории возмущений,

говорит, например: время обращения первого из спутников, сложенное с

удвоенным временем обращения третьего, дает в сумме утроенное время

обращения второго (если пренебречь вековыми возмущениями).

Лаплас также доказал, что первоначально законы, открытые им в системе

спутников, могли выполняться приблизительно и только последующее длительное

взаимодействие спутников привело к такому строгому выполнению законов,

какое наблюдается. При помощи своей теории Лаплас определил даже массы

спутников Юпитера, хотя истинные размеры этих тел в то время еще не были

известны.

Вековое ускорение Луны

Одним из наиболее замечательных исследований Лапласа являлось

раскрытие им тайны векового ускорения в движении Луны, не только ставившего

в тупик его предшественников, но и угрожавшего, казалось, продолжительному

существованию Земли и ее спутника.

Луна обращается вокруг Земли по эллипсу, то приближаясь к ней, то

удаляясь от нее. Однако это движение под действием земного тяготения только

в первом приближении происходит по законам Кеплера. Солнце своим

притяжением действует на это движение Луны как возмущающее тело, притом с

очень большой силой. Поэтому движение Луны чрезвычайно сложно. Ее движение

не только постоянно отклоняется от законов Кеплера, но и сама лунная

орбита, как и ее положение в пространстве, непрерывно меняются. Все эти

осложнения движения Луны хорошо нам заметны, потому что Луна – ближайшая к

нам небесное тело.

В 1787 г. Лаплас нашел наконец окончательное и верное решение вопроса,

так долго мучавшего теоретиков и практиков. Лаплас указал причину векового

ускорения в движении Луны и теоретически вычислил его величину.

Лаплас убедился, что средняя скорость движения Луны вокруг Земли

зависит от эксцентриситета земной орбиты. Движение Луны ускоряется, когда

форма орбиты Земли приближается к кругу, и наоборот. Таким образом, вековое

ускорение в движении Луны, как и для Юпитера, является не вечным, а

периодическим, и настанет время, когда Луна станет двигаться с замедлением.

Разрешением лунной загадки Лаплас устранил последнее важное в его

время разногласие между теорией тяготения и наблюдениями. Это был полный и

окончательный триумф ньютонианства и небесной механики.

В третьем томе «Небесной механики» Лаплас дал полное и совершенно

новое изложение теории Луны, пользуясь которым Берг, а затем и Бургардт

составили и издали новые таблицы движения Луны.

Основываясь на формулах Лапласа, его современники и последователи

составили намного более точные и очень важные для практической астрономии

таблицы движения планет.

Устойчивость солнечной системы

Показав, что в движении Юпитера и Сатурна нет вековых неравенств,

Лаплас еще в своей первой работе по этому вопросу поставил и более общий

вопрос: устойчива ли Солнечная система вообще? Если в движении какой-нибудь

планеты, например Земли, наблюдается вековое движение, то это означает, что

среднее расстояние этой планеты от Солнца увеличивается. В результате Земля

может так отдалиться от Солнца, что вследствие уменьшения поступающего

тепла жизнь на ней станет невозможной.

Обнаружив неизменность средних расстояний от Солнца Юпитера и Сатурна,

Лаплас рассмотрел общий случай и установил, что в пределах той точности, с

которой он вел вычисление рядов, заключение, сделанное относительно Юпитера

и Сатурна, остается верным и для других планет, в том числе и для Земли.

Лаплас установил, что два элемента планетных орбит – эксцентриситеты и

наклонения – связаны простым математическим соотношением, устанавливающим

тесные пределы для их изменений. Знаменитые теоремы Лапласа,

устанавливающеи свойства Солнечной системы, явились таким образом,

доказательством ее устойчивости.

Лаплас открыл также, что уменьшение эксцентриситета земной орбиты

влияет на среднюю долготу Луны, вызывая ускорение ее векового движения на

[pic],2 в столетие.

В своем прогнозе Лаплас полагал, что обратная сторона Луны навсегда

останется недоступной для земных наблюдений. Но космонавтика опровергла это

ограничение...

Форма и вращение Земли

Другой результат, ближе касающийся Земли – вопрос о ее форме – Лаплас

также сумел получить, исходя из наблюдений Луны.

Лаплас рассудил, что планета притягивает другие тела как материальная

точка, помещенная в центре этой планеты, лишь в том случае, когда она

состоит из шаровых концентрических слоев однородной плотности. Если Земля

сжата у полюсов, то вдоль ее экватора должен существовать избыток вещества,

как бы твердый пояс, окружающий планету. В результате в теоретические

формулы, представляющие движение Луны, должны войти члены, зависящие от

величины земного сжатия. Сжатие Земли Лаплас вычислил по этим формулам,

сравнивая свою теорию с наблюдениями Луны, произведенными в одном месте.

По величине сжатия Земли, зная скорость ее вращения вокруг оси, можно

вычислить упругость земных недр и можно догадываться о ее внутреннем

строении.

Вместе с тем Лаплас гораздо подробнее, чем Даламбер, рассмотрел

явления прецессии и нутации, заставляющие земную ось странствовать в

мировом пространстве. Явление прецессии тесно связано с формой, которую

имеет Земля, Лаплас в связи с этим учел упущенные Даламбером и Эйлером

дополнительные физические факторы – наличие океанов и атомсферы. Он

доказал, что океаны и атмосферу, несмотря на их подвижность, в данном

случае можно рассматривать как твердые тела, слитые с Землей в одно целое.

Наконец, Лаплас интересовался, не может ли ось Земли менять свое

положение внутри самого тела планеты. В результате этого со временем

изменились бы географические широты местностей, отчего в лучшем случае

пришлось бы постоянно переделывать географические карты.

Фигура Луны, сопровождающей нас в беге Земли вокруг Солнца, должна

быть еще сложнее, чем фигура Земли. Лаплас занимался и ею, в частности

вопросом, который всегда так интересует школьников: почему Луна повернута к

Земле одной и той же стороной? Дело здесь в приливном трении, вызванном

Землей, которое сравняло период вращения Луны вокруг оси с временем ее

движения по околоземной орбите. Лаплас нашел, что Луна должна быть слегка

вытянута по направлению к Земле.

Теория приливов

Последнее явление, связанное с Луной и отраженное в трудах Лапласа, –

океанические приливы и отливы. Приливная волна дважды в сутки поднимается и

затопляет берега прибрежных местностей. Дважды же в сутки волна прилива

спадает и имеет место быть отливу, когда корабли должны спешно выходить из

реки обратно в море.

Но приливы изменчивы и капризны. Высота их на берегах открытого океана

в зависимости от разных условий колеблется от 50 см до 21 м, да и время

приливов сильно меняется.

Бернулли, Эйлер и Маклорен создали так называаемую статическую теорию

приливов, допуская для простоты расчетов, что поверхность воды в каждый

данный момент мгновенно принимает фигуру равновесия под действием

приложенных к ней приливных сил.

Лаплас создал динамическую теорию приливов. Из всех сил, действующих

на воду по направлению к Луне, Лаплас принял во внимание только силы,

касательные к поверхности воды, так как лишь они играют в явлении приливов

серьезную роль. Эти силы, изображенные стрелкамии, заставляют воду

образовывать на Земле два горба, направленные к Луне М и от нее.

[pic]

Рисунок 1. Объяснение явления приливов по Лапласу

Лаплас вынужден был также допустить для упрощения теории, что океан

равномерно окружает всю Землю и имеет одинаковую глубину. Поэтому его

теория скорее применима к островам, а не к берегам материков. Новизна

исследований Лапласа заключалась в том, что он изучал, какую форму должна

принять водная поверхность под действием так называемых вынужденных

колебаний, т. е. колебаний всей водной массы под действием приливных сил.

Очень подробные изыскания проделаны Лапласом для различных глубин в

океанах и сравнены с многолетними наблюдениями приливов в порту Бреста.

Лаплас знал , в чем состоит основная трудность практического

применения теории приливов.

Океаны не покрывают Землю сплошь. Глубина морей различна, и дно очень

неровно. Это создает трение, тормозящее движение воды и даже вращение Земли

в целом. Учесть все эти влияния, даже если бы был точно известен рельеф

океанского дна и его геологический состав, – дело непосильное и для

современной науки. Тем не менее теория приливов и приливного трения была

применена к объяснению того, как родились Луна и двойные звезды, каково

далекое будущее их и системы Земля-Луна.

Вместе с тем Лаплас был первым, рассмотревшим приливы в земной

атмосфере. Своими убеждениями он рассеял убеждение, что Луна влияет своим

притяжением на показания барометра.

Природа тяготения

Помимо указанных выше вопросов, Лаплас в «Изложении системы мира»

рассматривает, насколько справедливы основные положения теории тяготения:

1) тяготение действует между наиболее мелкими частицами тела;

2) оно пропорционально массам тел;

3) оно обратно пропорционально квадратам расстояния между ними;

4) оно одинаковым образом действует на движущееся и на покоящееся тело.

Лаплас приводит факты и соображения, на его взгляд, бесспорно

подтверждающие правильность этих основных положений.

Незаконченные открытия

Целый ряд не разгаданных до конца явлений встал перед молодым

Лапласом; возникал вопрос, не действуют ли в природе посторонние, еще

неизвестные силы, поскольку стремления его предшественников объяснять

тяготением всю механику неба не увенчались успехом.

Не удивительно ли, что юноша, наперекор авторитетам, сразу взялся за

скрупулезное исследование этих проблем заново, с колоссальным упорством и

настойчивостью изучая их одну за другой! Он преследовал свою цель до тех

пор, пока не доводил дело до победного конца. Эта кропотливая и трудная

область науки – небесная механика – сразу стала предметом его любимых

занятий. С полным правом он мог сказать по поводу теории тяготения: такова

была природа этого поразительного открытия, что каждое возникшее перед ним

затруднение становилось трамплином для нового триумфа этой теории.

Другой областью, которой Лаплас также уделил много времени и внимания,

была математическая теория вероятностей или теория случайностей, как

называли ее в то время.

Аналитически строгий ум Лапласа не мог увлечься выяснением законов в

той сфере, события в которой было принято считать игрой слепого случая.

Овладеть этими случайностями, подчинить их расчету, раскрыть тайну

случайных событий, введя их в рамки закономерности так, как это было

сделано для движений небесных тел, – вот что поставил себе задачей Лаплас.

Заслуги его в этой области также чрезвычайно велики и носят принципиальный

характер.

Третья, меньшая по значению область исследований Лапласа – разработка

им различных вопросов физики.

Сначала вместе с Лавуазье он занялся опытами по теплоте; здесь его, по-

видимому, увлекла та широта размаха, с которой Лавуазье ставил свои опыты.

Наконец, немало сделал Лаплас в первые же годы его научной карьеры и в

области чистой математики. Он дополнил и развил ряд теорий, созданных его

предшественниками и современниками: Эйлером, Лагранжем, Даламбером и

Кондорсе.

Еще о математике Лапласа

Приведем краткую дополнительную справку о математических работах

Лапласа.

Прежде всего обратимся к дифференциальному уравнению Лапласа. Прибегая

постоянно к аналитическому математическому методу при решении задач

теоретической физики и механики, в частности – небесной механики, т. е.

механики взаимодействия небесных тел, Лаплас попутно развивал

математические методы.

Если, например, обозначить через [pic] величину отклонения тела от

положения равновесия в момент [pic], то ускорение движения тела в этот

момент выражается второй производной [pic]. Сила [pic], действующая на тело

массы [pic] при небольших растяжениях пружин, по законам теории упругости

пропорциональна отклонению. Приходим к дифференциальному уравнению

[pic]

В этом примере мы имеем одну независимую переменную. При большом числе

переменных возникают частные производные. Уравнение

[pic]

есть уравнение с двумя частными производными.

Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка, с

тремя произвольными переменными [pic] и искомой функцией [pic] называется

уравнением Лапласа. К нему приводится решение и других задач физики и

техники. Уравнению Лапласа удовлетворяет установившаяся температура и

электрический потенциал внутри однородного тела, потенциал поля тяготения в

области, не содержащей притягивающих масс, и т. п.

Фундаментальными являются его работы по дифференциальным уравнениям, в

частности первые общие методы интегрирования уравнений в частных

производных (метод каскадов), а также метод производящих функций и так

называемое преобразование Лапласа, с особенным успехом применяемое в теории

вероятностей. В алгебре ему принадлежит знаменитая теорема о представлении

определителей при помощи сумм произведений дополнительных миноров. Лаплас

ввел в науку важные шаровые функции. Он является основателем современной

теории вероятностей, составляющей математическую основу изучения

статистических закономерностей в явлениях природы и общества. О ней мы

поговорим дальше.

Здесь же отметим, что в области физики Лаплас разработал теорию

капиллярности, дал правильную формулу для скорости звука в воздухе, вывел

барометрическую формулу, которая позволяет определять разность высот двух

пунктов или высоту над уровнем моря [pic]:

[pic]м,

где [pic]и [pic] – давление атмосферы на этих уровнях, а [pic] – средняя

температура слоя воздуха в градусах Цельсия. Формула эта имеет широчайшее

применение. Лаплас установил также закон взаимодействия между элементом

тока и магнитным полюсом, вывел формулу для поверхностного натяжения

жидкостей и провел ряд других исследований.

Методы познания

Из различных научных методов Лаплас предпочитает методы индукции и

аналогий: «Индукция и аналогия гипотез, основанных на фактах и постоянно

проверяемых новыми наблюдениями, счастливое осязание, даваемое природой и

укрепляемое многочисленными сравнениями этих указаний с опытом, – таковы

основные средства познания истины... Если бы человек ограничивался

собиранием фактов, наука была бы лишь выхолощенной номенклатурой и никогда

бы не познала великих законов природы. Сравнивая между собой факты,

фиксируя их взаимоотношения и восходя таким путем ко все более и более

общим явлениям, мы достигаем, наконец, открытия этих законов, всегда

проявляющихся самым разнообразным способом".

В эти словах выразились все основные представления Лапласа о путях

познания природы. Они очень ценны; как справедливо сказал Араго, никто не

был удачливее Лапласа в установлении самой глубокой связи между явлениями,

на первый взгляд весьма далекими друг от друга. Точно так же никто не был

так счастлив в извлечении многочисленных и важных методов из неожиданных

сопоставлений.

Метод познания природы, рекомендуемый Лапласом недооценивает, однако,

значения дедукции, т. е. вывод законов из общих оснований умозрительно. В

этом отношении Лаплас разделял господствовавшее в его время преклонение

перед методом индукции. Весь период с середины XVII до середины XVIII веков

был заполнен борьбой между сторонниками методов индукции и дедукции –

борьбой, исторически необходимой и подготовившей синтез обоих методов

суждения в философии диалектического материализма.

Рационалистическая школа Декарта, созданная им система мировоззрения

(картезианство) тяготела к методу дедукции и из него пыталась вывести общие

и специфические законы природы. Вместе с открытием закона всемирного

тяготения Ньютон высоко поднял знамя индукции и гордо отверг не только роль

дедукции, но и роль научных гипотез.

Страницы: 1, 2, 3