Лазерная система для измерения статистических характеристик пространственных квазипериодических структур

процессов в промышленности. Где требуется интегральная комплексная оценка

качества изделия.

Для формирования изображений Фурье или Френеля исследуемого объекта

используют когерентный оптический спектроанализатор прост-ранственных

сигналов, схему построения и геометрические параметры которого выбирают в

зависимости от характера решаемой задачи.

В настоящее время уже стала классической схема когерентного

оптического спектроанализатора (КОС), приведенная на рис.1.

[pic]

Рис.1. Принципиальная схема когерентного оптического спектро-

анализатора:

1. Лазер;

2. Телескопическая схема Кеплера;

3. Входной транспарант;

4. Фурье-объектив;

5. Дифракционное изображение.

КОС состоит из расположенных последовательно на одной оптической оси

источника когерентного излучения - лазера 1 и телескопической систе-мы 2

Кеплера, формирующей плоскую когерентную световую волну. Эта волна падает

на входной транспарант 3 с фотографической записью исследуемого сигнала.

Входной транспарант 3 расположен в передней фокальной плоскости фурье-

объектива 4 (объектива свободного от аберра-ции дисторсии и поперечной

сферической ) с фокусным растоянием [pic]. На входном транспаранте 3

световая волна дифрагирует, и фурье-объективом 4 в задней плоскости 5

формируется дифракционное изображение исследуемого сигнала, которое

является его фурье-образом и описывается выражением

[pic], где А0 -амплитуда плос-кой монохроматической световой

волны в плоскости [pic]; [pic] - длина волны; [pic] - пространственные

частоты, равные [pic] и [pic] , где х2, у2 - пространственные координаты в

плоскости 5.

Таким образом, распределение комплексных амплитуд световых полей в

задней и передней плоскостях фурье-объектива 4 оптической системы связаны

между собой парой преобразований Фурье. Поле в задней фокальной плоскости

является пространственным амплитудно-фазовым спектром сигнала, помещенного

в его передней фокальной плоскости.

Описанная выше оптическая система выполняет спектральное разложе-ние

пространственного сигнала и является когерентным оптическим

спектроанализатором. Он позволяет анализировать одновременно ампли-тудный и

фазовый спектры как одномерных, так и двумерных пространст-венных сигналов.

Существует две основные разновидности схем построения лазерных

дифрактометров. Эти схемы представлены на рис .2 и рис. 3.

При условии фокусировки оптической системы, представленной на рис.2, в

ней осуществляется спектральное преобразование Фурье, форми-руемое в

плоскости х3у3, над сигналом помещенным во входной плоскости х1у1. Однако,

фурье-образ сигнала в такой системе содержит квадратичную модуляцию фазы

волны из-за наличия фазового сомножителя, стоящего перед интегралом в

выражении :

[pic]

[pic]

[pic] (2.1).

Это выражение описывает пространственное распределение комплекс-ных

амплитуд светового поля в плоскости х3у3 спектрального анализа и со-держит

ряд взаимонезависимых квадратичных фазовых сомножителей.

Наличие фазовой модуляции фурье-образа приводит к тому, что при ре-

гистрации его методами голографии в результирующей интерферограмме

возникают дополнительные аберрации, значительно влияющие на его ка-чество.

Эта фазовая модуляция также имеет важное значение и не может быть опущена в

случае дальнейших преобразований деталями оптической системы фурье-образа

сигнала. Но эта модуляция может быть устранена при соответствующем выборе

геометрических параметров оптической системы, т.е.

[pic], при [pic]. (2.2).

Таким образом, квадратическая фазовая модуляция фурье-образа устра-

нима лишь в двух случаях:

. при размещении сигнального транспаранта в передней фокальной

плоскости фурье-объектива, что полностью совпадает с полученными

ранее результатами исследований, но лишь для КОС с плоской вол-ной во

входной плоскости, т.е. при [pic].

. при [pic], т.е. плоскость х3у3 спектрального анализа должна совпа-

дать с плоскостью х2у2 размещения фурье-объектива, что физически

нереализуемо в оптической системе, согласно условию Гауса.

Учитывая выражения [pic] и (2.2) можем преобразовать (2.1) к виду:

[pic] (2.3),

откуда видно, что квадратичные фазовые искажения фурье-образа сигнала

устранимы не только при освещении входного транспаранта плоской, но и

сферической волной.

При условии фокусировки оптической системы, показанной на рис.3, в ней

осуществляется спектральное преобразование Фурье, формируемое в плоскости

х3у3, над пространственным сигналом, помещенном в плоскости х2у2. Однако,

фурье-образ сигнала в такой системе содержит квадра-тическую модуляцию фазы

волны из-за наличия фазового сомножителя. Наличие фазовой модуляции фурье-

образа сигнала приводит к допол-нительным аберрациям интерферограммы при

регистрации методами голографии. Эта модуляция имеет также важное значение

и не может быть опущена. Модуляция может быть устранена на оптической оси

системы и при [pic], т.е. при фокусировке оптической системы на

бесконечность. Но в этом случае оптическая система не будет осуществлять

спектральное преобразование Фурье.

Для оптической системы КОС, представленной на рис.3, квадратичные

фазовые искажения, приводящие к аберрационным искажениям фурье-об-раза

сигнала, не могут быть устранены лишь путем соответствующего выбора

геометрических парметров оптической системы. Для устранения этих искажений

необходимо оптическую систему дополнить корректирую-щим фильтром с фазовой

характеристикой, сопряженной к квадратичным фазовым искажениям фурье-образа

сигнала.

Итак можно сделать выводы:

. Квадратичные фазовые искажения фурье-образа сигнала устранимы путем

соответствующего выбора геометрических размеров оптичес-кой системы,

но лишь для КОС, выполненного по схеме “входной транспарант - перед

фурье-объективом”.

. При расположении ЛЗ в передней фокальной плоскости фурье-объектива

масштаб ее дифракционного изображения не зависит от радиуса

освещающей волны, а определяется величиной фокусного растояния и

длиной волны излучения лазера. Это позволяет рас-ширить дифракционную

полосу анализа путем увеличения радиуса освещающей волны, не изменяя,

при этом масштаб дифракционного изображения.

. При освещении ЛЗ, расположенной в передней фокальной плоскости фурье-

объектива, плоской световой волной, погрешность прост-ранственной

частоты зависит лишь от длины волны излучения лазера и фокусного

растояния фурье-объектива, что позволяет обеспечить ее уменшение

путем увеличения [pic] и [pic].

[pic]

Рис.2. Схема КОС со входным транспарантом перед фурье-объективом

[pic]

Рис.3. Схема КОС со входным транспарантом за фурье-объективом

3.Математическая модель квазипериодической

структуры СВЧ линий замедления

При статистических исследованиях геометрических размеров элементов

пространственной структуры ЛЗ установлено, что из-за различных техноло-

гических погрешностей, эти размеры являются величинами случайными с

нормальным законом распределения. Таким образом, пространственная структура

ЛЗ не является строго переодической, а поэтому ее энер-гетический спектр

будет отличаться от энергетического спектра периоди-ческих структур.

Из скалярной теории [7, 8] известно, что оптической системой КОС в

плоскости спектрального анализа формируется дифракционное изображе-ние

пространственного объекта, помещенного во входной плоскости. Математические

зависимости, описывающие форму дифракционного изоб-ражения, могут быть

определены лишь путем решения задачи о дифракции когерентной световой волны

на пространственной структуре объекта. Одна-ко для пространственной

структуры ЛЗ с флуктуациями периодичности, решение такой задачи чисто

оптическими методами не может быть полу-чено из-за значительной

математической сложности ее. Кроме, того эти методы применимы лишь для

решения дифракционных задач на регу-лярных детерминированных

пространственных структурах и неприменимы для случайных пространственных

сигналов.

Поэтому в настоящее время такие задачи для случайных оптических

сигналов решают в оптике с применением методов статистической радио-физики

в силу единства физических процессов и математических методов анализа

прохождения электрических сигналов в электрических цепях и распостранения

пространственных сигналов в оптических системах. Это позволяет определить

распределение освещенности в дифракционном изображении квазипериодической

пространственной структуры ЛЗ (т.е. ее энергетический спектр) путем

вычисления усредненного квадрата преобра-зования Фурье над ее амплитудным

коэфициентом пропускания.

Пространственная штриховая структура ЛЗ является квазипериодичес-ким

сигналом, в технике ОСОИ, и состоит из взаимонезависимых прозрач-ных щелей

и непрозрачных стенок. К тому же период пространственной структуры ЛЗ также

является случайной величиной, так как он равен сумме двух взаимонезависимых

величин. Таким образом, пространственная струк-тура ЛЗ относится к классу

случайных квазипериодических сигналов.

Поскольку освещенность пространственной структуры ЛЗ, помещенной во

входной плоскости КОС, равномерна по полю, то ее амплитудный коэфициент

попускания [pic] может быть описан единично-нулевой функ-

цией. Поэтому, в пределах ширины [pic] прозрачных щелей функция [pic], а в

пределах ширины [pic] непрозрачных стенок, соответственно, 0. Кроме того,

ширина щелей [pic] и стенок [pic] являются величинами взаимонезави-симыми,

поскольку при изгибах стенок толщина [pic] их не изменяется, а изменяется

лишь ширина [pic] щелей. Взаимонезависимость этих величин также возникает и

потому, что зубья в верхней и нижней гребенках наре-заются раздельно на

разных заготовках, после спаивания которых обра-зуются между зубьями щели,

а ширина их уже не зависит от толщины зубьев, что подтверждается также

малостью коэфициента корреляции [pic] для размеров [pic] и [pic].

Фрагмент квазипериодической пространственной структуры ЛЗ и соот-

ветствующая ему функция пропускания [pic] в сечении у=0 показаны на рис.4

(а и б), где Рх - период пространственной структуры, равный [pic].

Поскольку ширина [pic] щелей и [pic] стенок являются величинами

случайны-ми и взаимонезависимыми, то и период [pic] пространственной

структуры ЛЗ будет также величиной случайной. Период [pic] является суммой

двух случай-ных величин с нормальными законами распределения,

следовательно, закон распределения [pic] также будет нормальным.

Таким образом, амплитудный коэфициент пропускания [pic] прост-

ранственной квазипериодической структуры ЛЗ может быть описан функ-цией

вида

[pic] (2.4), где [pic] - порядковый номер щели, [pic]- пространственная

координата положения начала щели, [pic]- высота перекрытия зубьев в

квазипериодической структуре ЛЗ.

Из выражения (2.4) видно, что переменные х и у функции [pic] взаимо-

независимы, а поэтому эта функция является функцией с разделяемыми

переменными, и может быть представлена в виде произведения функций [pic] и

[pic], т.е. [pic] (2.5).

В выражении (2.5) функция [pic] является финитной в пределах высо-ты

[pic] перекрытия зубьев верхней и нижней гребенок пространственной

структуры ЛЗ вдоль координаты х, как показано на рис.4б.

Для оптической системы КОС пространственная структура ЛЗ является

квазипериодическим сигналом. В свою очередь, основными характеристи-ками

такого сигнала, т.е. пространственной структуры ЛЗ, являются:

. средние размеры [pic] и [pic] ширины стенок и щелей, а также средние

квадратические отклонения СКО [pic] и [pic] от них соответственно;

. законы распределения [pic] и [pic] размеров стенок и щелей;

. спектральная и корреляционная функции.

Для описания спектральных и корреляционных функций случайных сигналов

часто используются характеристические функции. Характеристи-ческая функция

[pic] случайной величины [pic] является фурье-образом ее закона

распределения [pic], т.е. [pic], где [pic]- простран-ственная частота,

измеряемая в [мм-1], поскольку в рассматриваемом случае координата [pic]

является пространственной и имеет размерность [мм].

Тогда с учетом [pic]получим:

[pic], а вводя замену переменных вида

[pic]. Этот интеграл в новых пределах интегрирования от [pic] до [pic]

можно представить через элементарные функции следующим выражением

[pic] (2.6) , и аналогично [pic] (2.7).

Полученные выражения (2.6) и (2.7) являются характеристическими

функциями квазипериодической пространственной структуры ЛЗ с нормаль-ным

законом распределения ширины [pic] стенок и [pic] щелей.

Как в оптических, так и в электронных устройствах спектрального анали-

за сигналов, существует возможность получения как амплитудного, так и

энергетического их спектров. Однако в теории спектрального анализа

пространственных сигналов известно, что при использовании квадратичес-ких

фотодетекторов для регистрации параметров дифракционного изобра-жения,

формируемого оптической системой КОС, автоматически на ее вы-ходе

формируется энергетический спектр исследуемого сигнала. Парамет-ры такого

спектра могут быть измерены соответствующими контрольно-измерительными

приборами, а форма его определена с применением мето-дов статистической

радиооптики путем интегрального преобразования Винера-Хинчина, либо на

основе теоремы Хилли.

Поэтому используя аналогию математических методов исследования

спектральных характеристик пространственных и временных сигналов,

распределение комплексных амплитуд спектра пропускания [pic] в

дифракционном изображении пространственной квазипериодической струк-туры

ЛЗ, можно определить как [pic] , или с уче-том (2.5) [pic].

Полученное выражение описывает амплитудный спектр функции [pic]

пропускания квазипериодической пространственной структуры ЛЗ. Энерге-

тический спектр [pic] этой функции может быть определен с помощью теоремы

Хилли [3.11] как [pic], или же

[pic].

Однако в работах [16, 17] показано, что для квазипериодического

сигнала, описываемого единично-нулевой функцией вида (2.4)

[pic] (2.8), где [pic]- дискретная составляющая спектра на нулевой

частоте, которая для квазипериодической структуры ЛЗ будет равна

[pic] (2.9) , а [pic]- непрерывная составляющая спектра, равная: [pic]

(2.10), что справедливо для [pic] и [pic] не равных 1, согласно [3.35].

В выражениях (2.9) и (2.10) параметр [pic] является пространственной

частотой энергетического спектра исследуемого сигнала, величина которой

определяется коэфициентом [pic] масштаба и зависит от схемы построения и

геометрических размеров оптической системы КОС.

Для определения формы энергетического спектра пространственной

структуры ЛЗ рассмотрим вещественную часть комплексной дроби в выражении

(2.10), обозначив ее через В, т.е.

[pic] (2.11). Подставив в (2.11) выражения (2.6) и (2.7) характеристических

функций [pic] и [pic] получим:

[pic] (2.12).

Выражение (2.12) представляет собой комплексную дробь вида [pic],

вещественная часть которой равна [pic] (2.13).

Тогда, выполнив алгебраические преобразования над (2.12) с использо-

ванием (2.13), вещественную часть В выражения (2.12) можно представить в

виде :

[pic] (2.14).

Подставив (2.14) в (2.10), получим уравнение непрерывной составляю-щей

энергетического спектра квазипериодической пространственной струк-туры ЛЗ:

[pic](2.15), а энергетический спектр пространственной структуры ЛЗ с

нормаль-ным законом распределения ширины щелей и стенок может быть представ-

лен следующим выражением:

[pic]

[pic][pic] (2.16).

Наибольший интерес для практической реализации в оптических системах

КОС для автоматизации контроля статистических характеристик

пространственной структуры ЛЗ представляет второе слагаемое выражения

(2.16), содержащее функциональную взаимосвязь этих характеристик. Пос-

кольку это слагаемое содержит гармонические функции, что указывает на

наличие частот [pic] экстремальных амплитуд спектра. Величины экстремаль-

ных амплитуд спектра и их частоты [pic] полностью определяются статисти-

ческими характеристиками геометрических размеров элементов простран-

ственной структуры ЛЗ.

Первое слагаемое в (2.16) описывает амплитуду спектра на нулевой

частоте, а в оптической системе КОС - интенсивность недифрагированного

светового потока, который фокусируется оптической системой на его оси в

плоскости спектрального анализа.

4. Задание характеристик элементов измерительной

системы

Источник излучения газовый He-Ne лазер ЛГН-207А:

. Диаметр пучка на растоянии 40 мм от переднего зеркала резонатора 0.52

мм.

. Длина волны излучения 0.6328 мкм.

. Расходимость излучения 1.85 мрад.

. Мощность 2 мВт.

Характеристики оптичесих элементов:

. Длина линии задержки 15 мм.

. Высота линии зажержки 4 мм.

. Диаметр фурье-объектива 24 мм.

. Фокусное растояние фурье-объектива 104.98 мм.

Характеристики приемника излучения:

. ПЗС-матрица, производстведена в Японии.

. Количество элементов 512х340.

. Размер чувствительной прощадки одного элемента 20х20 мкм.

. Спектральная чувствительность 0.4 B/Вт.

. Пороговый поток 10-12 Вт.

Страницы: 1, 2