Расчет тарифных ставок в страховании

|35 |949|0,0048|462|4651,2|49910,|20,7629|530,2|52041,926 |47778,30|10,730|

| |50 |65719 | |27061 |1133 |02 |041 | |09 |52608 |

|36 |944|0,0051|486|4246,4|45258,|20,0380|509,4|47205,161 |43312,61|10,658|

| |88 |4351 | |17888 |88624 |68 |412 | |137 |13291 |

|37 |940|0,0054|517|3875,7|41012,|19,5561|489,4|42788,858 |39236,07|10,581|

| |02 |99883 | |58159 |46835 |62 |031 | |92 |79243 |

|38 |934|0,0059|556|3536,1|37136,|19,2948|469,8|38757,462 |35515,95|10,501|

| |85 |47478 | |85269 |71019 |48 |469 | |861 |91304 |

|39 |929|0,0064|603|3224,9|33600,|19,1980|450,5|35078,61 |32122,44|10,419|

| |29 |88825 | |1182 |52492 |62 |521 | |034 |0523 |

|40 |923|0,0070|654|2939,4|30375,|19,1025|431,3|31722,855 |29028,37|10,333|

| |26 |83595 | |36635 |6131 |49 |54 | |131 |82137 |

|41 |916|0,0077|706|2677,6|27436,|18,9187|412,2|28663,423 |26208,93|10,246|

| |72 |0137 | |28309 |17647 |22 |515 | |016 |44697 |

|42 |909|0,0083|756|2437,6|24758,|18,5858|393,3|25875,791 |23641,30|10,156|

| |66 |10797 | |21011 |54816 |48 |327 | |52 |84885 |

|43 |902|0,0088|801|2217,7|22320,|18,0661|374,7|23337,402 |21304,45|10,064|

| |10 |79282 | |63703 |92715 |91 |469 | |212 |61018 |

|44 |894|0,0094|843|2016,5|20103,|17,4435|356,6|21027,429 |19178,89|9,9689|

| |09 |28581 | |79408 |16345 |62 |807 | |788 |42143 |

|45 |885|0,0099|883|1832,6|18086,|16,7626|339,2|18926,539 |17246,62|9,8691|

| |66 |69966 | |2929 |58404 |16 |371 | |895 |99483 |

|46 |876|0,0105|927|1664,5|16253,|16,1448|322,4|17016,873 |15491,03|9,7647|

| |83 |72175 | |48659 |95475 |62 |745 | |661 |8198 |

|47 |867|0,0112|977|1510,9|14589,|15,6107|306,3|15281,931 |13896,88|9,6556|

| |56 |61469 | |63999 |40609 |1 |297 | |092 |94043 |

|48 |857|0,0120|103|1370,5|13078,|15,1866|290,7|13706,631 |12450,25|9,5421|

| |79 |77548 |6 |94794 |44209 |28 |19 | |281 |65305 |

|49 |847|0,0130|110|1242,2|11707,|14,8471|275,5|12277,207 |11138,48|9,4247|

| |43 |27625 |4 |39788 |8473 |87 |323 | |739 |8852 |

|50 |836|0,0140|117|1124,8|10465,|14,5342|260,6|10981,151 |9950,063|9,3042|

| |39 |84339 |8 |22344 |60751 |92 |851 | |933 |31523 |

|51 |824|0,0152|125|1017,4|9340,7|14,2058|246,1|9807,0994 |8874,470|9,1809|

| |61 |19316 |5 |12812 |85164 |04 |508 | |959 |1954 |

|52 |812|0,0163|132|919,20|8323,3|13,8013|231,9|8744,6726 |7902,072|9,0550|

| |06 |65786 |9 |04449 |72352 |19 |45 | |148 |13407 |

|53 |798|0,0175|140|829,50|7404,1|13,3477|218,1|7784,3603 |7023,983|8,9260|

| |77 |39467 |1 |18416 |71907 |25 |437 | |563 |46377 |

|54 |784|0,0187|146|747,66|6574,6|12,8399|204,7|6917,349 |6231,991|8,7936|

| |76 |19099 |9 |31389 |70066 |82 |96 | |127 |26064 |

|55 |770|0,0199|153|673,08|5827,0|12,3331|191,9|6135,5063 |5518,507|8,6571|

| |07 |7221 |8 |95034 |06927 |06 |56 | |571 |05626 |

|56 |754|0,0213|161|605,18|5153,9|11,8591|179,6|5431,2917 |4876,543|8,5163|

| |69 |59764 |2 |02003 |17423 |8 |229 | |165 |35169 |

|57 |738|0,0229|169|543,35|4548,7|11,4334|167,7|4797,7736 |4299,700|8,3716|

| |57 |36215 |4 |20131 |37223 |3 |637 | |884 |21184 |

|58 |721|0,0246|178|487,05|4005,3|11,0342|156,3|4228,6186 |3782,151|8,2236|

| |63 |94095 |2 |46557 |8521 |88 |303 | |826 |87348 |

|59 |703|0,0266|187|435,80|3518,3|10,6571|145,2|3718,0744 |3318,586|8,0731|

| |81 |54921 |6 |48455 |30554 |96 |96 | |667 |79063 |

|60 |685|0,0287|196|389,16|3082,5|10,2515|134,6|3260,8924 |2904,158|7,9208|

| |05 |13233 |7 |37631 |25709 |13 |388 | |984 |96037 |

|61 |665|0,0307|204|346,77|2693,3|9,79713|124,3|2852,3025 |2534,421|7,7667|

| |38 |94433 |9 |94619 |61946 |49 |873 | |359 |8622 |

|62 |644|0,0329|212|308,34|2346,5|9,32596|114,5|2487,9092 |2205,255|7,6101|

| |89 |66863 |6 |91604 |82484 |73 |902 | |785 |47148 |

|63 |623|0,0352|219|273,56|2038,2|8,84166|105,2|2163,6164 |1912,850|7,4506|

| |63 |29222 |7 |31707 |33323 |77 |642 | |203 |86137 |

|64 |601|0,0374|225|242,13|1764,6|8,32945|96,42|1875,6481 |1653,692|7,2879|

| |66 |9626 |6 |37182 |70153 |77 |253 | |198 |98406 |

|65 |579|0,0402|233|213,81|1522,5|7,89913|88,09|1620,5334 |1424,539|7,1209|

| |10 |69384 |2 |15682 |36434 |77 |308 | |466 |26372 |

|66 |555|0,0430|239|188,25|1308,7|7,44269|80,19|1395,0099 |1222,439|6,9517|

| |78 |92591 |5 |82643 |24866 |39 |394 | |828 |52535 |

|67 |531|0,0461|245|165,27|1120,4|6,99921|72,75|1196,216 |1044,717|6,7795|

| |83 |61367 |5 |13101 |66602 |99 |124 | |251 |59024 |

|68 |507|0,0494|250|144,62|955,19|6,56254|65,75|1021,4821 |888,9084|6,6045|

| |28 |59864 |9 |58353 |52918 |51 |203 | |507 |96544 |

|69 |482|0,0530|255|126,12|810,56|6,13586|59,18|868,37524 |752,7636|6,4268|

| |19 |28889 |7 |17074 |94566 |61 |948 | |74 |82994 |

|70 |456|0,0568|259|109,57|684,44|5,71949|53,05|734,66831 |634,2271|6,2465|

| |62 |96325 |8 |21224 |77491 |64 |361 | |93 |50074 |

|71 |430|0,0610|263|94,805|574,87|5,31187|47,33|618,3281 |531,4231|6,0637|

| |64 |71893 |0 |38649 |56268 |56 |412 | |58 |44351 |

|72 |404|0,0655|265|81,665|480,07|4,91219|42,02|517,50028 |442,6401|5,8784|

| |34 |63635 |1 |54318 |02403 |25 |224 | |997 |91976 |

|73 |377|0,0704|266|70,010|398,40|4,52359|37,11|430,49276 |366,3166|5,6906|

| |83 |285 |1 |32418 |46971 |82 |005 | |318 |56368 |

|74 |351|0,0756|265|59,706|328,39|4,14385|32,58|355,75965 |301,0290|5,5001|

| |22 |50589 |7 |05696 |43729 |17 |645 | |968 |85235 |

|75 |324|0,0812|263|50,632|268,68|3,77451|28,44|291,89481 |245,4818|5,3066|

| |65 |56738 |8 |34731 |8316 |32 |26 | |234 |5336 |

|76 |298|0,0873|260|42,677|218,05|3,42085|24,66|237,61634 |198,4955|5,1094|

| |27 |70503 |6 |18158 |59687 |03 |809 | |938 |27581 |

|77 |272|0,0938|255|35,732|175,37|3,07818|21,24|191,7562 |159,0013|4,9080|

| |21 |98093 |6 |52729 |87871 | |724 | |787 |99156 |

|78 |246|0,1009|249|29,703|139,64|2,75109|18,16|153,26057 |126,0319|4,7012|

| |65 |52767 |0 |95515 |62598 |77 |906 | |47 |68201 |

|79 |221|0,1085|240|24,500|109,94|2,43981|15,41|121,17158 |98,71302|4,4873|

| |75 |4566 |7 |23732 |23046 |14 |796 | |919 |97537 |

|80 |197|0,1166|230|20,037|85,442|2,14443|12,97|94,625908 |76,25822|4,2641|

| |68 |53177 |6 |47055 |06731 |54 |815 | |663 |14429 |

|81 |174|0,1254|219|16,238|65,404|1,86840|10,83|72,847272 |57,96192|4,0277|

| |62 |15187 |0 |5651 |59675 |61 |371 | |108 |32522 |

|82 |152|0,1348|205|13,029|49,166|1,61159|8,965|55,137822 |43,19424|3,7734|

| |72 |21896 |9 |36001 |03165 |91 |305 | |165 |80171 |

|83 |132|0,1448|191|10,341|36,136|1,37440|7,353|40,876728 |31,39661|3,4941|

| |13 |57337 |4 |94219 |67164 |94 |706 | |48 |86195 |

|84 |112|0,1556|175|8,1136|25,794|1,15881|5,979|29,513468 |22,07599|3,1791|

| |99 |77494 |9 |10993 |72944 |34 |297 | |107 |92282 |

|85 |954|0,1671|159|6,2848|17,681|0,96395|4,820|20,561682 |14,80055|2,8132|

| |0 |80294 |4,9|66394 |11845 |03 |483 | |469 |84697 |

|86 |794|0,2390|189|4,8019|11,396|1,05314|3,856|13,597161 |9,195343|2,3732|

| |5,1|53001 |9,3|82189 |25206 |52 |533 | |554 |39135 |

|87 |604|0,3416|206|3,3523|6,5942|1,05068|2,803|8,1307604 |5,057779|1,9670|

| |5,8|25591 |5,4|43059 |69868 |46 |388 | |3 |62962 |

|88 |398|0,4880|194|2,0248|3,2419|0,90666|1,752|4,1699874 |2,313866|1,6010|

| |0,4|66526 |2,7|59522 |26809 |62 |703 | |194 |62579 |

|89 |203|0,6950|141|0,9510|1,2170|0,60641|0,846|1,6529437 |0,781190|1,2797|

| |7,7|48339 |6,3|03092 |67286 |57 |037 | |87 |72166 |

|90 |621|0,9816|610|0,2660|0,2660|0,23962|0,239|0,3880103 |0,144118|1 |

| |,4 |70422 |,01|64195 |64195 |14 |621 | |106 | |

|Форм| |[pic] | |lx*(1+|[pic] |dx*(1+i|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |

|ула | | | |i)-x | |)-x+1 | | | | |

Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам

некоторой абстрактной совокупности людей.

Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых

аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы

определения нетто-премий в личном страховании.

В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно

соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами

(Е(Р)+I>=E(S)), где I – доход от инвестиций временно свободных средств.

Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее

предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа

застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью

надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их

математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных

расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже

происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной

величины S, а, следовательно, является величиной случайной.

К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом,

равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость

выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует

свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в

зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов

(g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1-

g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то

есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное

время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые

выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню.

В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой,

а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета

страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить

к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении

договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.

Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают

основные принципы расчета тарифных ставок:

1. E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать

страховую выплату.

Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.

2. E+I>Sp – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким

договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах

применяют ее наиболее вероятное значение (Sp).

3. E>Sp-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой

выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость

единовременной нетто-премии.

4. Ep-IE>Sp-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с

реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением

(математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий,

уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость

выплат.

Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые

выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так

как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках

которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные

данные необходимо приводить к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни

несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, qn – вероятность страхового

события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если

страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик

получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание

такого ряда премий составит: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Однако, премия

выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную

величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному):

E(P)=P(q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), где v=(1+i)-1-дисконтный

множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых

премий.

Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они

выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда

математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1, во втором году

- Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых

выплат выглядит так: E(S)=S(vq1+v2q2+…+vnqn)/

Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное

равенство можно определить размер нетто-премии.

Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни

можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель

таблицы смертности – число людей lx в возрасте х лет, оставшихся в живых из

первоначальной совокупности l0 (обычно равной 100000 человек). Величины lx

(кроме l0) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей

смерти (qx) в возрасте х лет, или на основе количества умерших (dx).

Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с

последующим усреднением и сглаживанием.

Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:

- lx+1=lx-dx;

- dx=lx*qx;

- qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx .

Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые

вероятности в страховании жизни и действия над ними:

1. npx=lx+n/lx – вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х

лет.

2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx – вероятность человеком, дожившим до х лет,

прожить еще 1год.

3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx – вероятность умереть в интервале возрастов от x

лет до n лет.

4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx - вероятность дожить до

возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.

5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx –

вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n

лет.

Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах

смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно

интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические

вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых

положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа

умерших.

1. Dx=lx*vx

2. [pic], где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

- Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw

- [pic](Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1

3. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1

4. [pic]; [pic]

Страхование на дожитие.

Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй

выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен

на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-

премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты

(nEx*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в

рассрочку, что ведет к различной методике расчета:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь

обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая

выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому,

при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты

(S*npx). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения

договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии

(S*npx*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства

должны быть равны), получается:

- nEx*S = S*npx*vn

- nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn

- nEx= (lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx

2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет

собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи

составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические,

а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не

получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий,

которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в

течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в

первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.

- (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn

- Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=npx*vn или [pic]

Страхование жизни.

Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти.

Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного.

Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь

также следует рассмотреть два случая:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства

Страницы: 1, 2, 3, 4