Реферат: Типовые динамические звенья и их характеристики
Реферат: Типовые динамические звенья и их характеристики
Типовые
динамические звенья и их характеристики
Динамическим звеном
называется элемент
системы, обладающий определенными динамическими
свойствами.
Любую систему можно представить в виде
ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой
природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно
представить в виде дробно-рациональной функции:
(1)
Таким образом, передаточную функцию любой
системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей.
Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых
дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья
различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и
динамические свойства.
Как видно из
разложения, можно выделить следующие звенья:
1.
Усилительное
(безынерционное).
2.
Дифференцирующее.
3.
Форсирующее
звено 1-го порядка.
4.
Форсирующее
звено 2-го порядка.
5.
Интегрирующее.
6.
Апериодическое
(инерционное).
7.
Колебательное.
8.
Запаздывающее.
При
исследовании систем автоматического управления она представляется в виде
совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической
природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления
необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками
звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.
Рассмотрим
основные звенья и их характеристики.
Усилительное
звено (безынерционное,
пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:
(2)
или
передаточной функцией:
(3)
При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а)
и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:
а) б)
Рис. 1
Частотные характеристики звена (рис. 2)
можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ
определяются следующими соотношениями:
.
Рис. 2
Логарифмическая частотная характеристика
усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .
Рис. 3
Примеры
звена:
1.
Усилители,
например, постоянного тока (рис. 4а).
2.
Потенциометр
(рис. 4б).
а) б)
Рис. 4
3. Редуктор
(рис. 5).
Рис. 5
Апериодическое
(инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:
(4)
или
передаточной функцией:
(5)
где Т –
постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент
передачи.
При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а)
и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:
Рис. 6
Частотные
характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются
соотношениями:
а) б) в)
Рис. 7
Логарифмические
частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле
При
Рис. 8
Это асимптотические логарифмические
характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и
малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей
сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют
асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при
изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются
параллельно самим себе.
Примеры
звена:
1. Апериодическое звено
может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).
Æ Æ
Рис. 9
2. Звенья на
RLC-цепях (рис. 10).
Æ Æ Æ Æ
Æ Æ Æ Æ
Рис. 10
4.
Механические демпферы (рис. 11).
Рис. 11
Интегрирующее
звено. Интегрирующим
звеном называют звено, которое описывается уравнением:
(6)
или
передаточной функцией:
(7)
При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а)
и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:
Рис. 12
Частотные
характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:
Рис. 13
Логарифмические частотные
характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:
Рис. 14
Пример звена. Интегрирующее звено
может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).
Æ Æ
Рис. 15
Дифференцирующее
звено. Дифференцирующим
называют звено, которое описывается уравнением:
(8)
или
передаточной функцией:
(9)
При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его
функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид:
Рис. 16
Частотные характеристики звена (рис. 17а-в)
определяются соотношениями:
а) б)
б)
Рис. 17
Идеальное
дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях
такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.
Логарифмические частотные
характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:
Рис. 18
Примеры
звена:
1.
Дифференцирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 19).
Æ Æ
Рис. 19
2.
Тахогенератор (рис. 20).
Æ
Æ
Рис. 20
Колебательное
звено. Колебательным
называют звено, которое описывается уравнением:
(10)
или
передаточной функцией:
(11)
где x – демпфирование (0 £ x £ 1).
Если x = 0, то демпфирование
отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два
апериодических звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21)
соответственно имеют вид:
(12)
а) б)
Рис. 21
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется
соотношением
Амплитудно-частотные
характеристики (АЧХ) для различных значений x имеет вид (рис. 22б)
и определяется соотношением
Фазовая
частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется
соотношением
Частотные характеристики колебательного звена
имеют вид
а) б) в)
Рис. 22
Логарифмические
частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:
При k = 1
Рис. 23
Примеры звена. Колебательное звено
может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 24).
Рис. 24
Колебательное
звено на RLC-цепи (рис. 25).
Рис. 25
В приведенной
схеме:
С – накапливает
энергию электрического поля;
L – накапливает
энергию электромагнитного поля;
R – на
сопротивлении происходит потеря энергии.
Запишем
передаточную функцию цепи:
– затухание
(демпфирование).
4.
Механические демпферы (рис. 26).
Рис. 26
Форсирующее
звено. Форсирующим
называют звено, которое описывается уравнением:
(13)
или
передаточной функцией
(14)
где k –
коэффициент передачи звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно
определяются соотношениями:
Частотные
характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:
1
а) б)
в)
Рис. 27
Логарифмические
частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:
Рис. 28
Форсирующее
звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:
(15)
Логарифмические
частотные характеристики звена имеют вид:
Запаздывающее
звено.
Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют
вид:
(16)
(17)
где t – время запаздывания.
В
соответствии с теоремой запаздывания . При
этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно
определяются соотношениями:
Рис. 30
Частотные характеристики
звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:
а)
б) в)
Рис. 31
Устойчивые
и неустойчивые звенья. В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся,
а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально –
фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней.
Неустойчивые звенья называются не минимально – фазовыми. Т. е. изменению
амплитуды на ±20 дБ/дек соответствует изменение фазы на ±p/2, а ±40 дБ/дек – на ±p.
Пример 1. Построить частотные характеристики для звеньев
Для заданных передаточных функций звеньев, характеристики
имеют вид (рис. 32):
Рис. 32
Идеальные
и реальные звенья. Идеальные звенья физически не реализуемы, реальные звенья содержат
инерционности.
реальное интегрирующее звено;
реальное дифференцирующее звено;
реальное форсирующее звено.
АФХ этих
звеньев имеют вид (рис. 33а-в):
а) б) в)
Рассмотрим характеристики соединений звеньев и порядок
построения логарифмических частотных характеристик соединений звеньев.
1. Определяем,
из каких элементарных звеньев состоит соединение.
2. Определяем
сопрягающие частоты отдельных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке
возрастания.
3. Определяем
наклон низкочастотной асимптоты, используя формулу [(l-m) 20] дБ/дек (где l – количество дифференцирующих,
а m-
интегрирующих звеньев) и проводим ее через соответствующую сопряженную частоту.
4.
Последовательно сопрягая звенья, строим характеристику соединения.
Пример 2. Построить логарифмическую частотную
характеристику соединения:
Пример 3. Построить логарифмическую частотную
характеристику соединения
Пример 4. Построить АФХ соединения звеньев, передаточная
функция которого имеет вид
Решение: Выполнив подстановку p = jw и умножив на комплексно сопряженное
выражение, получим
Строим характеристику рис. 36.
+j
+
Рис. 36
Литература
1.
Автоматизированное
проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова.
– М.: Машиностроение, 1990. -332 с.
2.
Бойко Н.П.,
Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. –
К.: Тэхника, 1989. –182 с.
3.
В.А. Бесекерский,
Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г.
– 752 с.
4.
Гринченко А.Г. Теория
автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.
5.
Справочник
по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.:
Наука, 1987. – 712 с.
|