Реферат: Двойной интеграл в полярных координатах
Реферат: Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при
обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j, y = r sin j. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности)
и j = ji (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
Так
как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего
порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники
с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки
будет равна:
DSi = rj Dji Drj (3)
Что
касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе
Г области интегрирования S, то эти ячейки
не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В
качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной
интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем
можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной
суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая
формулы (3) и (3'),
получаем:
(4)
где
d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки
указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и
их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек
плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для
функции
f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая прямоугольной сетке
с линейными элементами Dji и Dri.
Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим
окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется
двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном
интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по
формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла
(6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где
r1(j), r1(j) -
однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)
Пример
1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так
как
то применяя формулу (6),
получим
Область
S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8)
имеем
Пример
2.
В интеграле
(9)
перейти
к полярным координатам.
Область
интегрирования здесь есть треугольник S,
ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В
полярных координатах уравнения
этих
прямых записываются
следующим
образом: j=0,
j=p/4, r cosj=1 и,
следовательно,
область S
определяется
неравенствами
Отсюда на основании формул
(6)
и(8), учитывая, что
имеем
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/
|