Системы стабилизации и ориентации

для четных k. В этом случае система будет устойчива

Критерий Кларка. Представляет собой совокупность 3-х необходимых

условий, и лишь выполнение всех этих условий является условием

устойчивости системы:

1. А(1) > 0

2. (-1)А(-1) > 0

3. Необходимо вычислить определители матриц D+ и D( , а

также их внутренние матрицы. Внутренние матрицы получаются из исходных

вычеркиванием окаймляющих строк и столбцов. Количество условий

устойчивости зависит от порядка системы.

D+=Cn-1+Bn-1; D(=Cn-1(Bn-1;

(1.19)

[pic] (1.20)

Система устойчива, если определители матриц D+ и D( , а также всех

её внутренних матриц положительны. Система не устойчива, если не

выполняется хотя бы одно из условий устойчивости Кларка.

1.5 Синтез цифровых систем управления по желаемым частотным

характеристикам разомкнутой системы

Одно из направлений развития алгоритмических методов синтеза

базируется на использовании частотных методов исследования. Процедура

машинного синтеза формируется при этом как задача аппроксимации

оптимальной в определенном смысле частотной характеристики разомкнутой

системы (так называемой желаемой характеристики) исходной

характеристикой.

Приближение исходной характеристики к желаемой достигается

применением законов управления (корректирующих устройств) минимальной

сложности и осуществляется в выбранных характерных точках частот по

критерию минимума средних квадратов. При этом под корректирующим

устройством минимальной сложности понимается устройство, имеющее

наименьшую размерность.

Пусть желаемая АФЧХ разомкнутой системы известна в точках,

соответствующих выбранным псевдочастотам (к, к=1,2,…,m

W(j(к)=Uк+jVк.

(1.21)

Для некоторых значений параметров наперед выбранного закона

управления D(z) можно рассчитать АФЧХ скорректированной системы

Wск(j(к) на этих же значениях частоты (к :

Wск(j(к)=W0(j(к)D(j(к)=Reк+jImк,

(1.22)

где W0(j(к) ( частотная характеристика располагаемой (исходной)

системы при (=(к.

Затем следует определить сумму квадратов расстояний между

соответствующими точками желаемой и скорректированной частотными

характеристиками:

[pic] (1.23)

Минимизируя величину Е с помощью одного из методов поиска экстремума,

можно получить наилучшее приближение к желаемой характеристике при

выбранном законе управления D(z).

В функционал можно ввести некоторые весовые коэффициенты R((к) и

рассматривать критерий оптимизации в виде

[pic] (1.24)

При использовании ЛЧХ следует задаваться значениями желаемых

характеристик ЛАХ и ЛФХ в m точках для выбранных значений псевдочастоты

(к, к=1, 2,…, m и строить критерий как сумму квадратов отклонений ЛАХ и

ЛФХ разомкнутой скорректированной системы от желаемой:

[pic]

где L((к) и (((к) ( значения желаемых ЛАХ и ЛФХ;

Lск((к) и (ск((к) ( значения скорректированных ЛАХ и ЛФХ;

R((к) и Kn ( весовые коэффициенты.

При выборе параметров закона управления по критериям Е, Е1, Е2 можно

варьировать как постоянные времени форсирующих или инерционных звеньев,

так и коэффициенты передаточной функции D(z), т.е. задача синтеза

сводится к перебору различных структур и параметров, физически

реализуемых D(z), и выбору D(z) простейшей структуры.

При машинных методах синтеза в качестве исходных законов управления

принимают функции минимальной сложности и увеличивают их размерность до

тех пор, пока не будет достигнуто приближение исходной частотной

характеристики системы к желаемому виду. В этом случае в качестве

исходных передаточных функций последовательного корректирующего

устройства можно принимать функции вида

[pic](1.26)

2 Разработка библиотеки процедур в среде Maple

2.1 Получение дискретной модели непрерывной системы

2.1.1 Процедура diskretA ( получение дискретной матрицы состояния.

Формат:

diskretA(А,Т0)

Параметры:

А ( матрица состояния непрерывной системы;

Т0 ( такт квантования.

Описание:

Процедура вычисляет матрицу состояния дискретной системы по известной

матрице состояния размерности (n( n) непрерывной системы и такту

квантования по формуле, приведенной в пункте 1.1. Результатом является

матрица такой же размерности.

Пример:

diskretA(matrix(2,2,[0,1,2.268,-0.03]),0.1);

[1.011350092 .1002280116]

[ ]

[.2273171304 1.008343251]

2.1.2 Процедура diskretВ ( получение дискретной матрицы управления.

Формат:

diskretВ(А,В,Т0)

Параметры:

А ( матрица состояния непрерывной системы;

В ( матрица управления непрерывной системы;

Т0 ( такт квантования.

Описание:

Процедура вычисляет матрицу управления дискретной системы по

известной матрице состояния размерности (n( n), матрице управления

размерности (n(m) непрерывной системы и такту квантования по формуле,

приведенной в пункте 1.1. Результатом является матрица такой же

размерности, что и матрица управления непрерывной системы.

Пример:

diskretB(matrix(2,2,[0,1,2.268,-0.03]),matrix(2,1,[0,-4.235]),0.1);

[ -.4257409375]

[ ]

[.06093613489]

2.2 Получение матрицы передаточных функций

2.2.1 Процедура permatr ( получение матрицы передаточных функций.

Формат:

permatr(А,В,с)

Параметры:

А ( матрица состояния непрерывной или дискретной системы;

В ( матрица управления непрерывной или дискретной системы;

C ( строковая переменная s или z, обозначающая передаточную

функцию какой системы необходимо вычислить.

Описание:

Процедура вычисляет матрицу передаточных функций дискретной или

непрерывной системы n-го порядка согласно пункту 1.2 по формуле (1.7).

Результатом выполнения процедуры является матрица n-го порядка,

элементами которой являются передаточные функции.

Пример:

permatr(matrix(2,2,[4,3,2,1]),matrix(2,2,[0,1,2,1]),z);

[pic]

2.3 Построение частотных характеристик

дискретной и непрерывной систем

2.3.1 Процедура afch ( построение амплитудно-фазовой частотной

характеристики дискретной и непрерывной систем.

Формат:

afch(W,c,Т0)

Параметры:

W ( передаточная функция системы;

C ( строковая переменная s или z, обозначающая АФЧХ какой

системы необходимо построить;

Т0 ( такт квантования для дискретной системы.

Описание:

Процедура строит АФЧХ дискретной и непрерывной систем согласно

методике, описанной в пункте 1.3.

Пример:

afch(1/(4*s^2-1.8*s+2),s,0.1);

Полученный график можно увидеть на рисунке А.1 приложения А.

2.3.2 Процедура lach ( построение логарифмической амплитудно-

частотной характеристики дискретной и непрерывной систем.

Формат:

lach(W, c, Т0, x2, y1, y2)

Параметры:

W ( передаточная функция системы;

с ( строковая переменная s или z, обозначающая АФЧХ какой системы

необходимо построить;

Т0 ( такт квантования для дискретной системы;

x2 ( правый предел изменения частоты;

y1 и y2 ( границы изменения логарифмической амплитуды.

Описание:

Процедура строит ЛАЧХ дискретной и непрерывной систем согласно

методике, описанной в пункте 1.3.

Пример:

lach(1/(4*s^2-1.8*s+2),s,0.1,5,-50,0);

Полученный график можно увидеть на рисунке А.1 приложения А.

2.3.3 Процедура lfch ( построение логарифмической фазо-

частотной характеристики дискретной и непрерывной систем.

Формат:

lfch(W, c, Т0, x2, y1, y2)

Параметры:

W ( передаточная функция системы;

с ( строковая переменная s или z, обозначающая АФЧХ какой

системы необходимо построить;

Т0 ( такт квантования для дискретной системы;

x2 ( правый предел изменения частоты;

y1 и y2 ( границы изменения логарифмической фазы.

Описание:

Процедура строит ЛФЧХ дискретной и непрерывной систем согласно

методике, описанной в пункте 1.3.

Пример:

lfch(1/(4*s^2-1.8*s+2),s,0.1,3,0,Pi);

Полученный график можно увидеть на рисунке Б1 приложения Б.

2.4 Анализ устойчивости

дискретной и непрерывной систем

2.4.1 Процедура klark ( построение особых линий для определения

области устойчивости дискретных систем.

Формат:

klark(А, В, К, x1, x2, y1, y2)

Параметры:

А ( матрица состояния дискретной системы;

В ( матрица управления дискретной системы;

К ( матрица;

x1 и x2 ( пределы изменения параметра к1;

y1 и y2 ( пределы изменения параметра к2;

Описание:

Процедура строит особые линии для определения области устойчивости

дискретных систем по критерию Кларка, описанному в пункте 1.4. При

задании матрицы К необходимо два изменяемых параметра обозначить к1 и

к2.

Пример:

Построенный график можно увидеть на рисунке Б.1 приложения Б.

2.4.2 Процедура gurvitz ( построение особых линий для определения

области устойчивости непрерывных систем.

Формат:

gurvitz(А, В, К, x1, x2, y1, y2)

Параметры:

А ( матрица состояния непрерывной системы;

В ( матрица управления непрерывной системы;

К ( матрица;

x1 и x2 ( пределы изменения параметра к1;

y1 и y2 ( пределы изменения параметра к2;

Описание:

Процедура строит особые линии для определения области устойчивости

непрерывных систем по критерию Гурвица, описанному в пункте 1.4. При

задании матрицы К необходимо два изменяемых параметра обозначить к1 и

к2.

Пример:

Построенный график можно увидеть на рисунке В.1 приложения В.

2.4.3 Процедура ust ( оценивает устойчивость непрерывной и

дискретной замкнутых систем.

Формат:

ust(A, B, K, c)

Параметры:

А ( матрица состояния непрерывной или дискретной системы;

В ( матрица управления непрерывной или дискретной системы;

К ( матрица;

с ( строковая переменная s или z, которая обозначает

устойчивость какой системы необходимо оценить.

Описание:

Процедура оценивает устойчивость непрерывной и дискретной замкнутых

систем по корневому критерию.

Процедура возвращает строковую переменную,

принимающую значения:

ust ( система устойчива;

noust ( система не устойчива;

nagr ( система находится на границе устойчивости.

Пример:

ust(matrix(2, 2, [0,1,2.268,-0.03]), matrix(2,1,[0,-4.235]),

matrix(1, 2, [1,0]), z);

noust

2.5 Синтез дискретных систем

2.5.1 Процедура sintez1 ( определяет коэффициенты корректи-рующего

звена.

Формат:

Sintez1(W, Wg, a, T0)

Параметры:

W ( исходная передаточная функция;

Wg ( вектор желаемых значений АФЧХ при определенных значениях

частоты;

А ( вектор значений частоты;

T0 ( такт квантования.

Описание:

Процедура возвращает коэффициенты корректирующего звена, реализующего

первый закон управления (формула 1.26) по квадратичному критерию

(1.23).

Пример:

W := .5*(-93478.39101*z-.1150000000e3*z^2

+902.6600000*z^3+1026.926837)/(z^5-.5570000000*z^4-

124.6542298*z^3+46.10663267*z^2+328.8088091*z-4.226757788)

a:=vector(3,[10,100,1000]): Wg:=vector(3,[1,-1,-4]): Т0:=0.063:

sintez1(W, Wg, a, t0);

[pic]

2.5.2 Процедура sintez2 ( определяет коэффициенты корректи-рующего

звена.

Формат:

Sintez1(W, Wg, a, T0)

Параметры:

W ( исходная передаточная функция;

Wg ( вектор желаемых значений АФЧХ при определенных значениях

частоты;

а ( вектор значений частоты;

T0 ( такт квантования.

Описание:

Процедура возвращает коэффициенты корректирующего звена, реализующего

первый закон управления (формула 1.26) по квадратичному критерию

(1.24).

Пример:

W := .5*(-93478.39101*z-.1150000000e-3*z^2+902.6600000*z^3

+1026.926837)/(z^5-.5570000000*z^4-124.6542298*z^3

+46.10663267*z^2 +328.8088091*z-4.226757788)

a:=vector(3,[10,100,1000]): Wg:=vector(3,[1,-1,-4]): Т0:=0.063:

sintez2(W, Wg, a, t0);

[pic]

3 Апробация библиотеки процедур SSO на примере

самолета «Боинг-747»

Для примера взята система стабилизации линейного набора высоты.

Уравнения системы имеют вид (1.1), матрицы А и В показаны на (рис.

3.1). Ниже представлено:

1. Нахождение дискретных матриц В (рис.3.1) и А (рис.3.2).

2. Построение особых линий устойчивости по критерию Кларка для

дискретных систем (рис.3.2).

3. Нахождение передаточных матриц непрерывной и дискретной систем

(рис.3.3).

4. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывной (рис.3.4) и дискретной

(рис.3.5) систем.

5. Построение особых линий устойчивости по критерию Гурвица для

непрерывных систем (рис.3.6).

6. Нахождение коэффициентов корректирующего устройства наиболее

приближающего желаемую АФЧХ к исходной по двум критериям (рис.3.7).

[pic]

Рис. 3.1

[pic]

Рис. 3.2

[pic]

Рис. 3.3

[pic]

Рис. 3.4

[pic]

Рис. 3.5

[pic]

Рис. 3.6

[pic]

Рис. 3.7

Заключение

1. Решена задача автоматизации анализа и синтеза систем стабилизации с

использованием ряда классических методов теории автоматического

управления.

2. Разработана библиотека процедур, дополняющая основной математический

пакет программ MAPLE V, которая поможет в решении задач анализа и

синтеза систем стабилизации и, в частности, в выполнении курсового

проекта по дисциплине «Системы стабилизации и ориентации».

3. Библиотека процедур испытана на примере системы стабилизации самолета

«Боинг-747», были получены дискретная модель и передаточные функции

системы, построены особые линии устойчивости и найдены параметры

корректирующего устройства по двум критериям (как видно из результатов

второй критерий дает лучшее приближение желаемой характеристики к

исходной). Полученные результаты подтверждают высокую эффективность

применения результатов работы для автоматизации проектирования систем

управления ЛА.

Приложение А

[pic]

Рис.А.1

Приложение Б

[pic]

Рис.Б.1

Приложение В

[pic]

Рис.В.3

Список литературы

1. Айзенберг Я.Е., Сухоребрый В.Г. Проектирование систем стабилизации

носителей космических аппаратов.( М.: Машиностроение,1986

2. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы.( М.: Наука, 1976

3. Борушко Ю.М., Вартанян В.М., Сысун А.И. Системы стабилизации ЛА.( Х.:

ХАИ,1989

4. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. (

М.:Машиностроение,1986

5. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического

регулирования. (М.: Машиностроение, 1989

6. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5.(М.:СОЛОН,1998

Страницы: 1, 2